 必备知识 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴：圆心O和圆心G关于AB对称；弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称。  4、弧翻折，即等圆相交：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。  模型分析：弧翻折，出等腰 如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD＝CA。  策略一：翻折的性质结合圆的性质 如图，在弧BC上取点D关于弦BC对称点点G，连接CG、BG；由翻折性质可知：CD＝CG， ∠ABC＝∠GBC，∵在同圆中，相等的圆周角所所对的弦相等，且∠ABC＝∠GBC，∴CA＝CG，又∵CD＝CG，∴CA＝CD，即△CAD是等腰三角形  策略二：弧翻折，即等圆相交 如图，弧CDB所在的圆即圆G，且圆O和圆G是等圆，∵在圆G中，∠1所对的弦是CD，在圆O中，∠1所对的弦是CA，且圆O和圆G是等圆，∴CA＝CD，即△CAD是等腰三角形  典例分析：2018·武汉   总结：本题关键在于确定CA＝CD；计算线段时还利用了垂径定理，三线合一和勾股定理。  典例分析：长沙自主招生 总结：本题和题1类似，关键在于证明CA＝CD；和题1不同的是，此题的弦AB是直径，因此可用射影定理求CE，考试时射影定理的结论需结合相似证明。综合以上两题，我们应知道处理弧翻折问题时，要有“弧翻折即等圆相交”和“弧翻折出等腰”的意识，这两种意识是解题的关键。 典例分析：赣州模拟 总结：对于此题要有确定圆心的意识，弧翻折，即等圆相交，两圆心关于AB对称，因此作点O关于AB的对称点G，再以GA为半径作圆G，圆G即为弧ACB所在圆；OC相切于圆G，自然想到连半径GC，且GC⊥OC，最后利用勾股定理计算OC长度。 典例分析：2020·浙江自主招生 总结：本题和题3类似，关键在确定弧EDB所在的圆，即圆G，遇到相切连半径证垂直。值得一提的是，遇到弧翻折时，不仅要知道其本质是等圆相交，还要知道两个等圆的圆心是关于折痕对称的，这样才能画出翻折后的弧所在的圆，也为计算两圆心之间的距离作铺垫。另外对比题1题2会发现，题1题2中折痕和弦有公共端点，而题3和题4没有交点，即EF和AB没有公共端点，故题3题4没有用到“弧翻折，出等腰”。 变式训练 |
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