【七下模型篇】第1讲 双角平分线交角问题

《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。

双角平分线交角问题

SHUANG JIAO PING FEN XIAN

模型解读

❶ 两内角平分线交角

在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P，试说明∠BPC与∠A的数量关系。

❷ 双外角平分线交角

在△ABC中，三角形外角∠DBC、∠ECB的平分线交于点P，试说明∠BPC与∠A的数量关系。

❸ 一内角和一外交平分线交角

在△ABC中，∠ABC与△ABC外角∠ACD的平分线交于点P，试说明∠BPC与∠A的数量关系。

SPRING

内在联系

典型例题

1

例1

如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B在直线n上运动，AC、BC分别是∠ BAO和∠ABO的角平分线。

（1）求∠ACB的大小。

（2）如图2，若BD是∠AOB的外角∠OBE的角平分线BD与AC相交于点D，点A、B在运动的过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值。

（3）如图3，过C作直线与AB交于F，且满足∠AGO-∠BCF=45°，试说明：CF∥OB.

解析：

⑴本小问直接根据❶ 中的两内角平分线模型（推导过程略，考试时需说明）可知：∠ACB=90°+1/2∠AOB=135°。

⑵BD是∠AOB的外角∠OBE的角平分线BD与AC相交于点D，由模型❷ （推导过程略）可知∠ADB=1/2∠AOB=45°。

⑶由条件∠AGO-∠BCF=45°，联想到（1）中的结论∠BCA=135°，可得∠BCG=45°，根据三角形外角性质，导角可证∠BCF=∠CBG，根据内错角相等，两直线平行，结论得证。

友情提醒

本题中所用的模型结论在解题中不可直接应用，需要推导后方能使用，借助模型结论可助我们能迅速发现结论，有助于分析问题，找到解题的思路。

2

例2

如图，四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F．

(1)若BF∥CD，∠ABC=80°，求∠DCB的度数;

(2)已知四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=125°，求∠F的度数；
(3)猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系，并说明理由.

解析：

本题只对第（3）问∠F、∠A、∠D之间的数量关系，解析：题中出现四边形一内角和一外角平分线，故延长BA、CD交于点G，将四边形转化为三角形解决问题。

牛刀小试

(2020春·南通崇川区校级期末)直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动。
(1)如图①，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的度数是否会发生变化?若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试写出∠AEB的大小。
(2)如图②，已知AB不平行于CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线，DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的度数是否会发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值。
(3)如图③，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数。