 其实，今天的推文想写好长时间了。 因为前段时间的考试，期末和开年考，都考了同一个知识点，数列中等差比数列的求和。 不用怀疑，全中国所有学过数列的，都应该知道错位相减法。 但老师斩钉截铁的预言“你可能一定会出错的”！却也一直在考一直成真。 真的，这几次，依然有绝大一部分同学，要么计算时间特长，要么计算结果出错，甚至还有看到计算量，干脆放弃了…… 昨晚星期一，两节自习辅导课，做了张卷。还真的有等差比!今天阅卷发现依然有16人解不了，占比35%…… 明知必考，却什么也做不了！ 还有什么比这种无能为力，更让人纠结的无能为力呢……  其实，关于错位相减法，计算过程，也并没有学生口口相传的那么复杂。 奈何现在的娃，计算能力是普遍不高的呢。 但终归这是个重要的问题，迟早要解决的。 所以，今天就这个等差比数列的求和问题，做一下专门的讲解。 期待下次，再见等差比，同学都能顺顺利利！  这就是我们的考题之一了，记得是上学期的期末联考题。 第一问当然是简单的，典型的由和求项，当然就要用到数列的和与项之间的关系。  只是要记得，一定要对n=1进行检验的！   第二问，就是典型的等差比嘛！ 相信所有同学都认出它来了。 那么，你能很顺利地计算出，它的前n项之和么？ 当然，首选方法嘛，一定是大家耳熟能详的“错位相减法”了。 1错位相减法  你看吧，计算过程其实真的是，非常非常简单的。 可是为什么，总会有那么多的同学，错到自己一无是处呢？ 其实，只要把相应的项对齐了，化简时再细心一点，真的是没理由出错的。 所以为了这个问题，我极认真的将等差和等比数列都进行了一般化，耐心地做了一下一般性的推导。  过程有点复杂，但是结果…… 再细看下，这完全就是一个固定结构的嘛！ 大概意思就是说： 等差比数列的前n项之和是一个常数与新的等差比数列之和 多么好的结论！ 嗯，我还依稀记得，等比数列的前n项和，也是一个常数与等比数列之和的。  其实，谁还不知道等比数列，就是等差比的特例呢！ 所以，如果允许归纳推理，上面那个结论，也就不是那么奇怪了。 不过以后，我们可以类似地，这样去记这个结论：  因为有了这样的结论，等差比数列的求和，便有了第二种办法。 2待定系数法  这种方法，应该是很好的了吧。 只是如果考试用它的话，还是要委婉一点的。 毕竟，这个结论并没有经过官方认证。 但你仍然可以按照错位相减法的过程，象征性地写上几步，便得出结果。 自然的，结果要预先在稿纸上算好。 当然，对于基础好一些的孩子来说，这种操作是完全没有必要的。 毕竟，错位相减的原理，不难理解；计算量，也真心不大。 其实，如果再细致点分析，你会发现等差比数列，也是可以和某些分式型数列一样，可以裂项求和的。3裂项相消法 看，这里裂项相消的过程，真的是比错位相减法，看起来舒服了不少。 只是，是不是所有的等差比数列，都能进行类似的裂项呢？ 这个问题，其实你就完全不用担心了。 因为我已经为你，准备好了下面的结论： 当然，如果你觉得还不太放心，也可以自行证明一下。 就算是加强一下对这个结论的认识，让以后记得更牢固一点，也是完全可以的。 不过还是想聊举一例，以坚定自己对这个结论的信念。 现在，这个结论没问题了。 那以后你还用啥错位相减法嘛！ 这种裂项相消法，才绝对应该成为首选啊！ 当然了，如果只是单纯的想秀一下解法，也可以考虑将等差比数列拆开了来看。 嗯？为什么要标记一下红色部分呢？ 认真地想一想…… 想一想…… 是不是有点求导公式感觉？ 想想等差比呢，却总是会有一个这样子的结构！ 至于另外一部分，压根就不用去考虑它。 因为那就是纯粹的等比数列啊。 基于这样的想法，求和时便有了，出人意料的导数法。 4导 数 法 确实是够神奇！ 也从来没想过导数还能这样吧。 所以，有没有感觉，以前还是太小看了导数的作用了呢。 不过说真的，有了这么几种思路，以后再见等差比，还真的会害怕再也算不对么！ |
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