【原】傅里叶变换的应用Ⅱ——信号响应

本节我们简单讨论一下线性系统的信号响应问题。

1 线性时不变系统

  为简化问题，这里我们只研究线性时不变系统的响应。下面，我们先介绍一下什么是线性时不变系统。

线性系统

  首先我们介绍什么是线性系统。假设一个系统输入信号为时输出信号为，输入信号为时输出信号为，那么若输入信号为时，输出信号为则称该系统是一个线性系统。

  如果要求，则该系统是一个离散信号系统，若 则该系统是一个连续信号系统。

时不变系统

  所谓“时不变”，指的是系统的响应不依赖当前时刻。即对于一个系统，信号的响应是，若信号的响应是，称该系统是一个时不变系统

  线性时不变系统即同时满足上述两个要求的系统。这两点要求都是比较理想的，现实中几乎不可能有严格满足的情况，但作为近似是非常合适的。

2 冲击响应

  冲击响应，顾名思义，指的就是系统受到冲击后的响应。

  为了描述冲击，我们引入函数。在之前本公众号的文章介绍傅里叶变换的性质时，我们就曾提到过它。离散情况下

连续情况下则有

冲击响应指的就是系统对函数的响应。

对于系统，当输入为，输出为时，记作

特别地，记冲击响应函数为

3 卷积

  我们现在再来了解一下卷积。我们先从离散情形入手。

  根据上一节中对函数的定义，应当有

将上式代入(1)式，得到

上面由式(4)得到式(5)利用了系统线性 的特点，由式(5)得到式(6)利用了(2)式表示的响应是时不变的。

于是我们就得到了离散情形下输出信号的计算方法

推广到连续情形则有

4 一个例子

  本节我们计算一个系统对给定输入信号的响应。

  假定有一线性时不变系统，其冲击响应为

图1 系统的响应函数

输入信号为周期为2，峰值为1的三角波。

图2 输入信号

对输入信号进行傅里叶变换，可得

图3 输入信号频谱

注意上图中的线段长度仅表示相对大小，不表示具体数值。

对响应函数也可以进行傅里叶变换，所得结果为

图4 响应函数频谱

本公众号之前的文章(链接见文末)中曾介绍过卷积定理。

而我们现在要求的输出函数实际上就是输入函数与响应函数的卷积，即

代入(11)(12)两式

式(15)在适当的截断后图象如下。

图5 输出结果

  这不是正弦曲线。可以验证，这与直接卷积的结果相同，但直接卷积的运算量极大，直接绘制曲线是存在困难的。

  可以发现，通过傅里叶变换，我们绕开了卷积复杂的、难以计算的积分过程，从而化简了问题。

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