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我们知道，债券价格变动六大定理，研究了利率变动对不同期限、不同息票率和不同到期收益率的债券价格的影响。但是，六大定理假设期限、息票率和到期收益率，这三个因素中仅有一个因素不同，与实际中各个因素都可能变动的情况不符。我们需要能够从期限、息票率、到期收益率等方面综合衡量利率变动对债券价格影响的量化分析工具，这就是本节课要讲的债券久期。 严格来说，久期是价格的利率弹性，是衡量债券价格利率敏感性的指标。对定期支付固定利息、到期按面值还本、没有附加选择权的普通附息债券来说，久期是债券的有效到期时间，是每一笔现金流支付时间的加权平均数，权重是每一笔现金流现值占全部现金流现值总和的比例。 久期有时也称为麦考利久期，它的计算公式如下：
这个公式看起来很复杂，其实挺简单，你看久期D就等于t乘以W，t是债券支付每一笔现金流的时间，是以年为单位的数字，W是一个权重，是一个比例，这个比例的分子是每一笔现金流以r为折现率计算的现值，分母是所有现金流的现值总和。所有现金流的现值总和，就是债券的理论价格或合理价格，公式中用P0表示。各个时期的权重相加等于1，下面通过一道例题来熟悉下这个久期的计算公式： 例:假设票面价值为1000元的债券，期限为3年，每年付息一次，票面利率为8%，到期收益率为1 0%。问:该债券的久期是多少? 根据题目中给出的信息，该债券一共要支付三笔现金流，80 、80和1080元，我们把这3笔现金流以10%的折现率求出现值，再把这三个现值相加，就得到债券价格P0,它等于950.25元。
然后用每笔现金流的支付时间t，依次是1、2、3，去乘以各自的权重：
权重等于每一笔现金流的现值，除以债券价格，最后求这三项乘积的总和，就得出久期D，它等于2.78,单位是年。你看这个2.78，它是该债券三笔现金流支付时间，第1第2第3年的加权平均数，比该债券的名义期限3年要小些，可称之为有效期限。从计算公式中可看出，债券久期与期限、息票率，到期收益率等因素有关。依据具体数字制作了几张图，请你观察这些图，来探究下债券久期有哪些特性
首先看第一张图，它的横轴是债券的到期期限，纵轴是债券久期，中间这条红色的直线，反映了零息债券的久期，下面那条绿色的线描述的是息票率为15%，到期收益率YTM也等于15%的债券的久期。从这张图中，你能发现什么规律吗？你看，红线倾斜45度，说明零息债券的久期与它的期限相等，这从久期计算公式也很容易推导出来，因为零息债券的现金流，就只有期未到期的1笔现金流。绿线始终落在红线的下方，表明附息债券的久期都小于它的期限，因为到期前的一切利息支付，都将缩短债券的加权平均时间。另外，这两条线都向右上方延伸，表明期限越长久期就越大，但从绿线的形状看，随着期限的不断增加，久期增加的幅度出现递减。就是说，附息债券的期限增加1年，但其久期增加却小于1年。再看这张图：
我又添加了一条蓝色的线，代表的债券息票率为3%，到期收益率YTM为15%，这张债券的到期收益率远远高于息票率，说明该债券的价格与面值相比，是高还是低呢？根据前面学过的知识，它的价格应该是大大低于面值，处于严惩折价状态。仔细观察这条蓝线的形状，我们刚才总结的，“期限越长久期就越大”这条规律是不是要修改一下？ 蓝线:对于严重折价的债券，随着期限增加，久期开始是上升， 后来会下降。当然这种情况比较少见，一般而言我们还是可以说，“期限越长，久期就越大”，再把蓝线和绿线做一个对比这两张债券的YTM相同，但息票率不相等，显然，息票率高的债券，其久期更短。这是因为，息票率越高，早期支付的现金流现值越大，占比权重越高，使得支付时间的加权平均数越低，即久期越短。 为了考察到期收益率对久期的影响，我再添了一条紫色的线，如下图：
代表的债券息票率也是15%，但是到期收益率YTM只有6%，对比紫线和绿线，你应该看出来了:到期收益率越低，久期越长。这是因为，到期收益率越低时，后期支付的现金流现值越大，占比权重越高，使得支付时间的加权平均数越大，即久期越长。 总结： 1对普通附息债券来说，久期是每一笔现金流支付时间的加权平均数，权重等于每一笔现金流现值占全部现金流现值总和的比例。 2.零息债券的久期等于它的期限。 3.附息债券的久期小于它的期限。期限越长，久期就越大，但随着期限的不断增加，久期增加的幅度会递减。对于严重折价的债券，随着期限增加，久期会先上升后下降。 4.在其他因素不变时，久期与息票率、到期收益率成反比例关系。 |
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