中考数学压轴题分析：相似三角形的存在性问题

几何图形的存在性问题是中考常见的问题。本文内容选自2020年广东省中考数学压轴题，考查相似三角形的存在性问题，难度不小。一个三角形形状大小确定，另外一个三角形有两个动点。具体请看下面内容。

【中考真题】

（2020·广东）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．
（1）求，的值；
（2）求直线的函数解析式；
（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上．当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．

【分析】

题（1）利用待定系数法求解析式，根据BO=3AO=3，得出点，点坐标，代入求抛物线解析式。
题（2）求BD的解析式，需要确定点D的坐标。由于题目已知BC与CD的比例关系，可以考虑过点D作x轴的垂线，得到一个A字型的相似，求出点D的横坐标，代入二次函数的解析式，然后即可得到结论。

当然，如果先设直线BD的解析式为y=kx－3k，联立二次函数的解析式，得到一元二次方程的两根x1与x2的关系即可求出k的值。

题（3）中需要确定与△ABD相似的△BPQ。由于A、B、D三点的位置的固定的，坐标也是确定的。那么形状与大小就确定了。先求出3边长度，且易得∠BAD为钝角。而∠PBQ不可能为钝角，所以只需要分两种情况讨论即可：①点B与点B对应；②点B与点D对应。两种情况中边的比例又有两种情况，因此分为4种情况讨论。设PQ的坐标，然后根据比例关系得出结论。
【答案】解：（1），
点，点，
抛物线解析式为：，
，；
（2）如图1，过点作于，

，
，
，，
，
，
点横坐标为，
点坐标为，，
设直线的函数解析式为：，
由题意可得：，
解得：，
直线的函数解析式为；
（3）点，点，点，，
，，，对称轴为直线，
直线与轴交于点，
点，
，
，
，
如图2，过点作于，

，
，
，
，
如图，设对称轴与轴的交点为，即点，

若，
，，
，，
当，
，
，
点，；
当，
，
，
点，；
若，
，，
当，
，
，

点，；
当，
，
，
点，；
综上所述：满足条件的点的坐标为，或，或，或，．