一个最值问题的初中解法

题目如下：

这个题到底是高中题目还是初中题目，暂无法定论，但可以确定的是：这个题目可以用初中方法解决，并且方法还不唯一！

由以上分析可知，目标问题就转化为求3PA+PB的最小值，眼尖的小编立马发现：这似乎就是我们初中比较熟悉的“阿菠萝”问题！那到底能不能按照“阿菠萝”问题的常规方法处理呢？很简单，我们只需要检验系数是否匹配就可以了！线段PA前需要匹配的系数为=2，但所求目标问题前PA的系数是3，好像不匹配。现在我们在分析下线段PB，线段PB需要匹配的系数为=，但目标问题线段PB前的系数为1，似乎也不匹配，到底什么原因呢？原来，这是一个深层次的“阿菠萝”问题，需要匹配“双系数”！只需要将3PA+PB整体提取个系数就可以了，3PA+PB=（2PA+PB），剩下的问题交给“构造”就可以了！

反思：目标问题形式比较复杂，常规的思路是根据题目提供的条件，对该代数式进行化简，等价转化，最终找到目标问题的几何意义，这也是解决该问题的前提条件。

方法①是按照“阿菠萝”问题的处理策略解决，不过和一般情况不同的是：这里需要“双构造”，匹配“双系数”，是深层次问题，综合度还是比较大的，但本质相通。方法②是通过构造“旋转相似”结构，直接巧妙转化含有系数线段，最终利用三角形三边关系求解，极为灵巧！方法③再次让我们领略到了“托勒密”的强大威力，简直无敌般的存在，方法即严谨又简洁！