图解如何找点讨论函数零点个数几例(1)

图解如何找点讨论函数零点个数几例

（1）

   函数导数压轴题中，经常考察函数零点问题，有一类问题，我们明知道零点存在，但是却求不出，正所谓“你看见或不看见，我依然存在在那”。既然看不见摸不着，我们能用零点存在定理把它框定在一个小区间也好，那么怎么找到这个小区间呢？下面以几例归纳之。

函数f(x)究竟有几个零点呢，先看图：

由图发现：

可惜的是我们知道有零点，却不能手工精确解出来。

【关注点1】当a<0时函数有一个零点，那这个零点在哪里呢？虽然解不出，但能否将其限定在一个小区间呢？

    当a<0时，函数如图：

    易知：f(0)=1>0,当x➝-∞时，f(x)➝-∞，因此此零点一定存在在区间（-∞，0），但似乎不够严谨，根据零点存在定理，我们应该找到另一点f(b)<0才好。

   【问题】 我们知道这样的点有，但是怎么找呢？观察动图知，零点在动，因此x=b应该也与参数a有关。

    【解决思路--放缩】原函数的根求不出，我们将其适当放缩后，变成一个可求零点的函数。

    

令g(x)=0解得x=1/a,取b=1/a则：

如图：

因此f(0)*f(b)<0,即此时零点在区（0，b）上。

【关注点2】当a>e时函数有一个零点，那这个零点在哪里呢？找出他们的所在区间。

当a>e时，函数如图：

【解决思路1--猜点】因为f(0)=1>0，猜x=1,则

f(1)=e-a<0,故第一个根在区间（0,1）。

【解决思路2--放缩】

第二个根在哪里呢？因为原函数的根求不出，我们进行放缩，

，则：

故另一个根在区间（1，a）上。

综上所述，函数f（x）的两个根分别在区间（0,1）和（1，a）上。

别急别急，未完待续

本期

作者简介：廖邦亮，男，中学一级教师，湖南师范大学计算数学研究生，现就职于广东河源市河源中学，任教高中数学。