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前两天的中考数学：图形的认识，这篇推送没有多少人阅读，估计是标题和封面图片看起来太简单了，让大家误以为是个基础内容，所以很多同学没有将其当做压轴题去点击阅读，其实那是一道几何压轴题。有兴趣的同学，可以在历史消息中查找一下那篇推送。 今天的题目是2014年的中考压轴题，前几期插入了点别的，所以今天继续本省的往年中考压轴题！ 今天的分享给大家提供了两种解题方法，除去和答案上一致的一种方法外，还提供了老师平时最喜欢用的方法-平移法，具体请往下阅读。 审题之后，直接就能解决前两问了，解析式中两个未知系数，两个坐标代入就行了，第二问的线段长度，利用纵坐标表示的线段的比例求解即可； （1）大家自己代入A、B两点坐标求解析式吧； （2）有了抛物线和直线的解析式，利用点P的横坐标为m，可以分别表示出点P、E、F的坐标，点P是在x轴上方的，所以在y轴左侧的话，EF＞PE，所以只能是y轴右侧部分，然后右侧部分出现了直线CD和x轴的交点，那么就会出现点E和F的上下位置互换问题，所以就要分为两种情况了，第一种即从高到底的顺序依次为P、E、F，第二种即从高到低的顺序为P、F、E，那么利用纵坐标之差来表示出线段PE、EF，然后利用倍数关系解出m即可，每种情况下都能解出两个m值，但要注意m是大于0小于5的，所以不符合的舍去； 如果同学们分不清楚情况的话，可以这么来：点P始终是在最上方，而点E和点F的上下位置可能颠倒，那么就可以将线段EF的长度用坐标表示的时候加上绝对值符号，这样不管m是正还是负，对于情况讨论都不影响，因为有了绝对值，就已经包含了两种情况，所以对于考虑不够全面的同学，建议优先使用代数法。 （3）这一问刚看完题的时候，老师的第一反应是直线垂直的斜率关系，但是那是高中的内容，所以目前只能以初中的知识来给大家分享，那么我们知道点P会在∠DCy的平分线上，至于为什么在角平分线上，我们知道CE=CE'且EE'被PC垂直平分，所以PC是角平分线，角平分线和抛物线的交点就是点P。 但是角平分线的直线的解析式我们不知道怎么去求解，只有一个点C，所以到了这一步我们需要如何做呢？或许就需要换个思路去想想。 方法一：几何图形法 先将图形补充完整，然后再看如何入手，如下图 CE=CE'，图形有了，然后呢？好像只有一个四边形，没办法，多连点辅助线看看吧。连接EE'，它们的连线与PC相交的点就是EE'的中点了，我们假设为点Q，如下图 除此之外，我们看图形可以发现四边形E'CEP的对角线垂直，而且很像是菱形（PE=CE'，可由全等证明，然后又平行，邻边还相等），确实是菱形，那么PE就可以和CE相等了，为什么要用它俩呢？因为有P和E的横坐标，可以很方便表示出来两个线段的长度，PE的长度容易表示，CE的长度也容易表示，所以可以建立方程解决。 不过肯定会有同学仍然不知道CE这种位置的线段长度怎么根据坐标去表示，如下图吧， 我们从点E向y轴作垂线EM，那么根据△COD∽△CME，可知CD：CE=OD：ME，ME的长度知道，那么就可以表示出CE了，或者利用三角函数值求取也是一样的，到了高中就可以直接利用直线的斜率来求了，那都是题外话了，回到本题中，而PE的长度根据上一问就已经表示出来了，然后CE=PE，解方程。 要注意，P的位置可能在y轴左侧也可能在右侧，所以m的正负未知，所以就需要建立两个方程了，大家自己解方程吧。 该方法在利用图形解题的时候，很容易忽视点P在y轴左侧的情况，由于人对既定图形的直观印象，很多时候大家都会忽略掉一些没有展示出来的情况，所以一定要考虑全面。 方法二：直线平移法 那么，如果没有发现这个菱形的存在的话，又该如何解答呢？毕竟大家在做题的时候不一定都会先把图形补充完整。 我们可以用直线平移法来解决，也是老师最喜欢用的方法，如果有同学不会直线平移法，那就老老实实掌握第一种方法吧，看下图， 我们在y轴上C的上方取CD'=CD，那么△DCD'就是等腰三角形了，画角平分线CN，想必到这里有同学就发现这个CN就是前面的直线PC了，而直线EE'肯定是平行于DD'的，也可以理解为直线DD'平移到点E的位置时就是EE'了，所以只要得到CN的解析式，就能得到点P了， 因此，这个方法不用怎么画图就能帮助同学们找到切入点，打开思路。但是，需要的是大家的思考能力和观察能力，所以平时解题时，精力不能集中的同学一定不要一边只盯着图形一边思考，那事实上和睡着了没有区别， 那么CD'=CD，点D'的坐标很简单吧，然后N是DD'的中点，坐标也OK吧？ 有点C和点N的坐标，很容易就能求出直线CN的解析式， 让其与抛物线相交，得到了两个交点就是点P了； 注意，现在还没有完事儿呢？如果有同学计算出结果了，会发现和上一种方法的结果相比，少了一种，那么还有哪种情况呢？既然m的正负未知，那么点P就可能在y轴左侧，而上面的结果已经包含了一种，所以很多同学在这里就容易忽略掉第三种可能。 我们知道点E和E'一个在直线上，一个在y轴上，而PC肯定是角平分线，那么∠ECy可以是钝角，也可以是锐角，既然PC能是钝角的平分线，为什么不能是锐角的平分线呢？ 所以 如上图紫色直线，这个情况下的角平分线与抛物线的交点不也是点P的位置吗？不明白的同学可以自己画个大点的图好好研究研究， 那么这种情况的直线CP如何去求呢？ 很明显，CP//DD'，也就是DD'平移过来的，所以k值一样， 有同学会问，老师你怎么知道它们平行呢？ 紫色的角平分线和蓝色线不是垂直吗？然后DD'也和蓝色线垂直，所以它们两个平行，也就是DD'平移过来的。 再将C坐标代入即可得到CP的解析式，然后结合抛物线建立方程求解即可，无疑结果同样有两个，但是点P是在x轴上方的，所以下方那个坐标舍去即可； 最终，点P的位置就是三种了。 这道题答案上给出的方法是利用菱形来解决，但是如果大家没有补充图形的话，很难发现有菱形的存在，所以老师给出了第二种方法； 在解决二次函数压轴题时，平移法属于常用的解决方法，不必太过于依赖图形而画很多辅助线，尤其是这个图形的字母挨那么近，但是，前提是需要依赖同学们的想象能力和理解能力，毕竟有图形的时候，很多同学还一筹莫展呢，更别说脱离图形去自己发挥想象了。 所以，思考的深度不同，就会有不同的学习方法。 |
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