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题目是昨天在作业帮APP上看到有同学发布的悬赏难题，就帮忙解答了一下，但是他拍的照片太歪歪扭扭了，没有保存，所以今天老师只能凭记忆重新编一下题目了。 题目如下： （1）已知：直角三角形中以三边长为斜边，分别向外作等腰直角三角形，如下图，假设两直角边形成的等腰直角三角形面积为S'、S’'，以斜边做出的等腰直角三角形面积为S，那么S=________________（用S’、S'’来表示）； （2）等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点C为顶点的45°角的两边与斜边AC交于D、E两点，且∠DCE绕点C旋转过程中保持AD＜DE，将△ACD绕点C顺时针旋转90°，得到△BCF，连接EF， ①求证：DE=EF； ②若AC=BC=6√2（6倍根号2），AD=4时，求DE的长度； ③过D、E分别作AC和BC边的垂线，垂足分别为Q、P，且两条垂线相交于点O，那么在AD的长度变化过程中，四边形CPOQ的面积是否为定值？请给出证明过程。 （1）根据每个三角形面积用三边长度来表示的代数式，结合勾股定理，可得S=S'+S''； （2）一共三问， ①要证明DE=EF，很明显要全等， 那么只需要△DCE≌△FCE， 条件有CD=CF，公共边CE，∠FCE=∠FCB+∠ECB=∠ACD+∠ECB=45°=∠DCE， 所以全等，得到DE=EF； ②首先可以得到AB的长度12，然后AD为4， 那么BD=8， 而BF=AD=4，EF=DE，BE=8-DE, 同时∠FBE=90°， 所以勾股定理解出EF即可； ③这一问如果同学们不会善于利用已知结论，恐怕就要伤脑筋了， 根据图形可以看出△ADQ和△ODE、△BPE都是等腰直角， 而根据前面上一问直角三角形BEF中，三边长度恰好是这三个等腰直角三角形的斜边，那么利用题目开始我们得到的结论，就可以轻松得到， S△ODE=S△ADQ+S△BPE， 那么四边形CPOQ的面积中其余部分刚好和△ADQ和△BPE组成直角三角形ABC， 所以这个四边形的面积固定=△ABC面积； 这道题如果一切线索都能很快联系起来，那么整个过程就会顺理成章，尤其最后一问如果要利用截取的方式证明三角形面积1=2，恐怕不易，不过像这种面积固定值的题目平时就会遇到，所以同学们大概都能攒出一些经验来。 |
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