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分析： 当P在BC上且与A距离最短时，一看就知道是AP⊥BC的时候，所以比较简单； P在MB上的时候，可知PQ//BC，所以可得△APQ和△ABC的相似比，进而得面积比，那么PQ所分的上下两部分面积之比即可得； 要找点P到AC的距离，题上问题已经给出了分为两个阶段，所以我们只要分类讨论即可，但不管是哪一种，我们都需要过P向AC所在直线作垂线，那么P在AB上时，垂足肯定落在CA延长线上，但是貌似距离不太好求，如果知道点到直线的距离公式那就好办了，但是初中阶段没有这玩意儿，所以我们待会用三角函数来搞定；当P在BC上时，∠C是不变的且三角函数值已知，所以可直接利用∠C来解决； K被扫描，我们得先分析出什么情况下能被扫描到，P在AB上的时候，一直可以，但是当P在BC上向右移动时，Q从C上开始向A移动，移动到K之后，就要进入K不被扫描的阶段了，但是当P过BC一半后，Q又会向C移动，所以K又可能会进入扫描区域； 解答： （1）P在BC上时，距离A最近的地方，BC中点处，刚好△ABC还是等腰，三线合一，△APB、△APC为直角三角形，根据tan∠C可得AP长度3； （2）当P在MB上，上下面积4:5时，我们假设AP长度为x，那么根据条件可知AB=AC=5，所以△APQ和△ABC的相似比为x：5，面积比则为x²：25， 所以△APQ和四边形PBCQ的面积比则为x²：（25-x²）=4:5，解出x=10/3， 则MP=AP-AM=4/3； （3）先看0≤x≤3，即点P在AB上时， 过P做PD⊥CA延长线于D，那么我们要找的就是PD的长度； 但是在△APD中，虽然是直角三角形，但是角度我们都不知道，而且我们只知道PA=2+x，但是AD不知道，也无法直接用勾股定理， 但是，仔细观察的话，会发现这个PD不就是△APQ中AQ边上的高吗 既然可以看做高，那么就可以想想是否可以用面积来搞定， S△APQ=0.5AQ·PD， 那么再以PQ为底的时候，此边上的高就好像有点容易求出来， 如图，作AE⊥PQ于E，那么根据AP=2+x可得 AE=1.2+0.6x PQ=2PE=3.2+1.6x 所以根据面积计算可得 PQ·AE=AQ·PD，同时AQ=AP 所以PD=PQ·AE/AQ=（3.2+1.6x）（1.2+0.6x）/（2+x）=1.6（1.2+0.6x）=0.96x+1.92 再看3≤x≤9时，P在BC上 如图，PF⊥AC于F，当然还可能F在CA延长线上， 那么在△CPF中，直角三角形，tan∠C已知， 所以PF=0.6PC=0.6（11-x）=6.6-0.6x 最后再来个综上所述即可； （4）这一问就比较扯淡了，直接写答案，谁都知道这类问题的计算过程都是比较复杂的，所以才让直接写答案， 当P在AB上时， 我们知道PQ//BC，而AK＞AM， 所以当AP=AK时，Q即移动到了K处，那么∠APQ就扫描到了K点， AP=9/4， 而P从M到N一共用36秒，路程一共9， 所以速度为每秒0.25 而MP=AP-AM=1/4， 所以用时1秒，也就是说1秒后K就开始被扫描到了 那么等到P在BC上时， 如图，当P再向右移动时，为了让∠APQ保持不变，Q肯定会向A移动，那么就会出现Q经过K，只要Q过K点，那么K就不再被扫描到了， 所以我们要搞清楚Q到K的时候，点P在什么位置 由于∠APQ是固定不变的而且还等于∠B和∠C，很容易想到利用相似， 但是谁和谁相似呢 我们得看看图中的三角形，△ABP、△APQ、△PCQ和△ABC △APQ由于是变化的，和其他的三个肯定不能保持相似状态 而△ABC又是等腰，所以其他三个也找不到和它相似的 那么就剩下△ABP和△PCQ了， 刚好∠B=∠C，剩下的角是否相等呢 ∠APC为△ABP的外角，且∠APC=∠B+∠BAP 而∠APC又是∠APQ+∠CPQ 且∠APQ=∠B 所以∠CPQ=∠BAP 那么两个三角形相似 ∴BP：CQ=AB：CP BP=x-3，AB=5，CP=11-x， 而我们要的是CQ=CK时，所以CQ=11/4 （x-3）:11/4=5:(11-x) 代入可得x=5.5或8.25 对应时间22秒和34秒 为什么有两个结果呢 我们知道在P过BC中点之前，Q肯定会向A移动经过K， 而当P过了BC中点向N移动时，Q又会向C移动经过K， 不信的话你可以让P在N处自己算算Q在哪 所以在1秒时，Q过K，且K开始被扫描，在22秒时，Q又过K，此时K不被扫描了，在34秒时，Q又过K，K又进入扫描区，直至36秒， 那么K被扫描的时间 t=(22-1)+(36-34)=23秒； |
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