今天这篇文章再换一个角度来谈论微分和导数,让我们从微分出现的原因说起。 1 微分出现的原因 出于种种原因,我们可能想去求曲线的长度、曲面梯形的面积: 求解思路是这样的,以求曲线长度为例,将曲线分为多个部分,每一部分都用切线来近似曲线: 划分的越细,直到划分为无穷多份,最终这些切线的长度加起来就是曲线的长度: 求曲边梯形面积也是类似的,用小矩形来近似曲边梯形的面积,随着小矩形的增多最终得到曲边梯形的面积: 上面的思想就是微积分的核心思想,“以直代曲”。曲线长度、曲边梯形就是“曲”,切线、小矩形就是用来近似(代替)的“直”,这种“直”就是 微分。关于这里还不了解的可以看“微分是什么?”这篇文章。 2 微分与导数 先不谈曲边梯形,本节先来回答曲线的微分是什么,也就是可以近似曲线的直线是什么? 2.1 几何分析 下面结合几何来理清一下求解的思路。假设有曲线 和直线 ,如果两者完全相等,那么有: 很显然这在整个曲线和直线上是做不到的,但肯定可以做到在某点上相等,比如让它们在 点相等,从几何上看就是曲线 和直线 在 点相交: 下面要更进一步,不过不要太贪心,只希望两者在 附近尽量相等。比如像下图一样,在 的区间内,曲线 和直线 相差很小: 这点如果可以做到,那就可以按照上一节说的,将曲线分成 份,每份都用各自的微分来近似。 2.2 代数分析 通过几何分析,思路已经理清楚了,要找的微分(直线)需要满足以下两点: (1)曲线 和直线 要交于 点。假设直线 的斜率为 ,那么根据点斜式,可得直线函数: 这里面就是 还未知,求出了 就得到了想要的直线,也就得到了微分。 (2)曲线 和直线 要在 的区间内尽可能相等。用代数表示即为: 有约等号的式子是没法计算的,引入高阶无穷小 可以将约等号去掉: 高阶无穷小 的意思就是在 这个范围内无限的接近于 0。至于为什么它无限接近于 0,以及为什么是高阶无穷小,在文章的最后会进行补充说明。 2.3 解出直线的斜率 经过上面的分析我们有了: 这已经足够让我们解出直线的斜率 了。注意到 ,可以进行如下变形: 两侧取极限可得: 略微作一下化简可得: 至此我们就求出了 ,也就找到了 的 微分(直线 的形式还需要变一下才是真正的微分,关于这点可以参考“dx,dy是什么?”这篇文章)。 这个 在微积分中又有一个专门的名字,称为 的 导数。 如果存在(因为 是通过极限求得的,这个极限有不存在的可能),那么就称 可导。 上面的思路还可以进一步思考,如果要找最接近曲线 的多项式曲线呢?这会得到泰勒公式,就留给大家作课后习题吧。 3 补充说明 这里补充说明两点: (1)高阶无穷小 为什么表示在 的区间内无限接近于 0 ?这是因为它满足: 上面这个极限式意味着 越小,也就是越接近于 点, 越接近于 0。用动画表示就是: 上图中绿线就是曲线 ,蓝线为微分,可以看到随着 缩小,两者之间的距离 也无限接近于 0。 (2)为什么一定要高阶无穷小?同阶无穷小行不行?关于这点可以参考“为什么算出来的圆周率 π 等于 4 ?”这篇文章。 |
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