线段最值问题：瓜豆原理

【问题引入】

如下图1所示，Q为OP的中点，P为线段AB上的一个动点，Q为OP的中点，当P点在线段AB上运动时，Q点的运动轨迹是什么？

【问题分析】

如下图2，当P点为于A点时，此时Q点位于OA的中点Q₁；当P点位于B点时，此时Q点位于OB的中点Q₂；我们发现，△OQ₁Q₂∽△OAB，随着Q点位置的不同，△OQ₁Q₂与△OAB一直相似，其本质为动态相似！

【模型建立】

此类题中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的是另一个动点Q，P和Q之间存在着某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹即为本文要探讨的瓜豆原理。

1、两个概念：

主动点：主动运动的点称为主动点，如上图1中的P点；

从动点：由于主动点运动而“被迫”运动的点称为从动点，如上图1中的Q点；

2、瓜豆原理成立的两个必要条件

①主动点、从动点与定点连线的夹角为定值；

②主动点、从动点到定点的距离之比是定值.

举例如下：

如下图3:，动点P在直线BC上运动，A为定点，Q为另一动点，且满足条件：

①∠PAQ是定值；

②AP：AQ是定值，

则动点Q的轨迹与动点P的轨迹一致，即：P在直线BC上动，则Q在另一直线MN上动，且△BAC∽△MAN(动态相似)。

3、核心结论

①从动点的运动轨迹与主动点运动轨迹一致，即如果主动点在直线上运动，则从动点也必然在直线上运动；如果主动点在圆上运动，则从动点也必然在圆上运动，故非常形象的称之为“瓜豆原理”。

②主动点的起点、终点、定点组成的三角形与从动点的起点、终点、定点组成的三角形相似(或全等)，如上图中△AMN∽△ABC。

③主动点运动轨迹与从动点的运动轨迹的夹角(锐角)等于主、从动点与定点连线的夹角。如上图中∠PAQ=α。

【类型总结】---核心处理方法：

Step1：找出主动点的起点和终点；

Step2：找出题中所有的定点；

Step3：验证两个必要条件，即：

①主、从动点与定点连线的夹角为定值；

②主、从动点到定点的距离之比是定值。

Step4：若Step3成立，则确定为“瓜豆原理”，进而确定从动点的起点和终点；

Step5：利用“主动点的起点、终点、定点组成的三角形与从动点的起点、终点、定点组成的三角形动态全等或相似”及“主动点运动轨迹与从动点的运动轨迹的夹角(锐角)等于主、从动点与定点连线的夹角”求解，且Step3中若②中的比值若为1，则动态全等；若不为1，则动态相似。

例题分析】

【例1】如图，在直角坐标系中，已知A(4,0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为_______。

【解析】严格按照上面整理出来的解题步骤来

Step1：主动点B的起始点为原点，终点为y轴的正半轴；

Step2：题目中点定点A(4,0)；

Step3：验证瓜豆原理的两个条件：

①主、从动点与定点连线的夹角为定值，即∠BAC=60°；

②主、从动点到定点的距离之比是定值，即BC/AC=1；

Step4：满足Step3，故动点B、C之间满足“瓜豆原理”，即：B点在射线OB上动，C点也在某条射线上动，当主动点B位于起始点O时，从动点C位于如下图中D点处，故C点在射线DC上运动；

Step5：此时OC由点到直线的距离垂线段最短可知，过O点作OH垂直CD交于点H，则OH即为所求，此时主动点运动轨迹与从动点的运动轨迹的夹角∠OEH等于主、从动点与定点连线的夹角∠BAC，即∠OEH=∠BAC=60°，

【例2】如图，正方形ABCD中，AB=2√5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时钟旋转90°得到DF，连接AE、CF，求线段OF的最小值为______。

【解析】严格按照上面整理出来的解题步骤来

Step1：主动点E是以O点为圆心，OE=2为半径的圆上运动；

Step2：题目中点定点D；

Step3：验证瓜豆原理的两个条件：

①主、从动点与定点连线的夹角为定值，即∠EDF=90°；

②主、从动点到定点的距离之比是定值，即ED/FD=1；

Step4：满足Step3，故动点E、F之间满足“瓜豆原理”，即：E点在以O点为圆心，OE=2为半径的圆上运动，F点也在某个圆上动，当主动点E位于线段OD上时，从动点F位于如下图中F’点处，从动点F在圆O’上运动；

Step5：由于Step3中若②中的比值若为1，则动态全等，即圆O’与圆O半径相等且为2，故OF的最小值如上图所示，