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瓜豆模型在近年来在中考真题及模考题中出现的越来越多，也逐渐引起了广大老师和学生的注意。 什么是瓜豆模型呢？ 俗话说种瓜得瓜，种豆得豆，事物之间存在因果联系，在初中数学有一类动态问题叫，一个点的位置的移动引起另一个点位置的移动，主从联动。 这类问题应该说是网红问题，好多优秀老师都在研究它，原因是它在很多名校模考的时候经常出现，有的称为瓜豆原理，这是一种比较形象的叫法；也有叫旋转相似，因为在解题过程中需要运用到旋转相似模型。 解决这类问的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题，一般主动点的轨迹已定给定或比较明显，解题的关键是确定从动点的轨迹， 在确定从动点的轨迹的过程中用到了旋转相似的知识。 根据主动点的运动轨迹一般将瓜豆问题分两大类： 一、轨迹是线段 【举例1】 如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是什么？ 【分析】 当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 【分析】 当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形． 当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段． 模型解释 【条件】 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 【结论】 P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角） P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN） 应用举例： 【举例】如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________． 【分析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为8．
二、轨迹是圆 【举例1】 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点． 当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，M:PO=AQ:AP=1:2．
确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线， 由Q为AP中点可得：AM=1/2AO． Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 【举例2】 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
【分析】 考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
模型解释 为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 【条件】 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
【结论】 （1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角∠PAQ=∠OAM；： （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩． 应用举例： 如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．
当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．
在瓜豆模型问题的解答中一般需要用到以下知识点： 首先是：相似，通过构造相似三角形确定从动点与某定点之间的距离及与某定直线的夹角，从而确定从动点的位置，这是解题的关键。 其次，在解决最值问题中，一般会用到两点之间线段最短；三角形的两边之和大于第三边；点到直线之间的距离垂线段最短；点到圆上点共线有最值等最值基本理论。 运用瓜豆模型解决最值问题一般包含以下基本步骤： 第一步：确定主动点的轨迹 ，这一步一般比较简单； 第二步：找从动点与主动点的关系，找到一定点，寻找等角等比关系，确定模型及根据主动点轨迹确定从动点轨迹类型； 第三步：通过相似确定从动点的轨迹； 第四步：根据轨迹确定点线、点圆最值。 练习题：
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