瓜豆原理 | 几何模型手册

文章来源，公众号：初中数学题

01 认识模型

瓜豆原理，中国有句古话：种瓜得瓜种豆得豆。

例1，如下图，点P是一个定点，点A是圆O上一个动点，连接PA作线段PB⊥PA，且使PB=PA。如果A点的运动轨迹是圆，那么B点的运动轨迹也是圆。

例2，如下图，点P是定点，点A是直线L上的动点，连接PA作线段PB⊥PA，且使PB=PA。如果A点的运动轨迹是直线，那么B点的运动轨迹也是直线。即种瓜得瓜种豆得豆。

这两个例子中，都有一个定点P，一个主动点A，从动点B随着点A的变化而变化。

如果A点的运动轨迹是直线，那么B点的运动轨迹也是直线(种线得线)；如果A点的运动轨迹是圆，那么B点的运动轨迹也是圆(种圆得圆)。即种瓜得瓜种豆得豆，所以形象的称为瓜豆原理。

02 确定模型

上面的例子中有很多条件，例如PB⊥PA，PB=PA等，那么具体哪些条件可以确定它符合瓜豆原理呢？

对于一个定点P，一个主动点A，一个从动点B。确定是否符合瓜豆原理，只需要判断下面两点。

①夹角∠APB固定

例如上面两个例子里这个夹角都是固定的90度。即使特殊情况，夹角是0度，即三点在一条直线上也是符合条件的。

②两边比例(PA:PB)固定

例如上面两个例子里，PA:PB=1。

练习一下，如下图，点P是定点，点A是圆O上的动点，连接PA，B是PA的中点，问点B的运动轨迹是什么？

定点P，主动点A，从动点B

按照上面的方法，①夹角∠APB=0°，固定。②两边比例PA:PB=2，固定。

大功告成，符合瓜豆原理，所以点B的运动轨迹也是圆(图中虚线的圆)。

所以，只需抓住这两点就可以判断是否符合瓜豆原理，非常简单吧。

03 模型原理

我们把核心的内容抽出来研究一下，如下图。定点P，主动点A，从动点B。点A沿直线运动到A′时，点B沿直线运动到B′。

瓜豆原理的条件：∠APB=∠A′PB′=α，PA:PB=PA′:PB′=k。

因为∠APB=∠A′PB′=α，都减去公共角∠A′PB，得到∠APA′=∠BPB′；

PA:PB=PA′:PB′，所以△APA′∽△BPB′。

即瓜豆原理的核心是△APA′与△BPB′相似(特殊情况是全等)，即动态相似。如果是解答题或证明题，不能直接应用瓜豆原理的结论，可以很自然的想到构造三角形相似(全等)。

04 结论

瓜豆原理的结论是：从动点的运动轨迹与主动点的运动轨迹一致。

(一)轨迹是直线的情况

可以得到结论：

①AA′:BB′=PA:PB

②两运动轨迹直线的夹角等于条件中的定角，即∠ACB=∠APB

(二)轨迹是圆的情况

可以得到结论：

①P到两个圆心的距离比，两圆的半径比都等于PA:PB(定值)。即PA:PB=PM:PN=MA:NB

②定点与圆心连线夹角等于条件中的定角，即∠MPN=∠APB

以上这些是经常用到的结论，大家一定要熟悉(有兴趣的同学可以自己证明)。

05 抽图训练

利用瓜豆原理快速确定从动点的运动轨迹。关键是判断条件是否符合瓜豆原理。下面举一些例子，大家练习一下瓜豆原理的判定，如果图形复杂，可以把定点，主动点，从动点抽图来确认条件(题目中用颜色表示)。篇幅有限，只给出轨迹。

例1，在平面直角坐标系中，正方形AOCB，点A(0，3)，点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰RT△ADE，∠ADE=90°，连接OE，则OE的最小值是( )。

确认模型：定点A，主动点D，从动点E。确认条件：

①夹角∠ADE=90°(固定)

②两边比例AE:ED=√2(固定)

参照下图，点E的轨迹与点D相同，是一条直线(可以找两个特殊点来确定直线位置)。参考答案：3√2/2。

例2，在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值是( )。

确认模型：定点A，主动点B，从动点C。确认条件：

①夹角∠BAC=60°(固定)

②两边比例AB:AC=1(固定)

参照下图，点C的轨迹与点B相同，是一条射线去掉端点(因为y轴正半轴不包含原点O，可以找两个特殊点来确定位置)。参考答案：2。

例3，在直角△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=12，点D为AC中点，点P为AB上的动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点Q，连接CQ，则线段CQ的最小值是( )。

确认模型：定点D，主动点P，从动点Q。确认条件：

①夹角∠PDQ=90°(固定)

②两边比例DP:DQ=1(固定)

参照下图，点Q的轨迹与点P相同，是一条线段(可以找两个特殊点来确定位置，易知轨迹与AC平行，即求平行线间距离)。参考答案：6。

例4，在△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD与CE交于点O，则线段AO的最大值是( )。

确认模型：定点B，主动点C，从动点O。确认条件：

①夹角∠CBO=45°(固定)

②两边比例BC:BO=√2(固定)

点C的轨迹是以点A为圆心，半径为2的圆。

点O的轨迹是以点P为圆心，半径为√2的圆(半径比也是√2)。

根据结论∠ABP=45°，AB:BP=√2(可以确定点P的位置)。

所以△ABP是等腰直角三角形，AP=BP=2√2

当A，P，O共线时AO最大：AP+PO=3√2

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