【原】继续谈作圆锥曲线上的点

在继续讲牛顿的圆锥曲线作图法之前，我要给大家介绍一下他用到的一种变换。这对后面的圆锥曲线作图问题是必要的。

假设现在有一条曲线，我们在上面任取一点 ，进行下面的变换（图中的点 是过 且平行于 的直线与 的交点）：

1. 任意做定线段 和 ；
2. 过 作 的平行线线 ；
3. 过 作 的平行线，交直线 于 ；
4. 连接 ，与 交于 ；
5. 过 点做射线，与 成一定角度；
6. 在该射线上取一点 ，满足 。

点 即为 经过变换后的点。当 在原曲线上移动时， 亦随之移动，形成的轨迹即为变换后的曲线。牛顿对这一变换说明如下：

1. 经过这一变换，曲线的次数不变，曲线原来是一次、二次、三次…变换后仍然是一次、二次、三次…，换言之，直线变换后仍然是直线，圆锥曲线变换后仍然是圆锥曲线；
2. 如果 经过一对相交直线的交点，则可以把这对相交直线变换为一对平行线（显然，如果 通过两组相交线的交点，则可以把这两组相交线变为两组平行线）；
3. （在线段 、 和前述第 5 步中的角度都一定且已知的前提下）我们可以通过点 找到原来的点 。

大家可以通过计算或者利用数学软件对以上内容加以验证。

牛顿接下来用这一变换解决了两个问题：一是命题 25 问题 17，要求作过两个已知点并与三条已知直线相切的圆锥曲线上的点；二是命题 26 问题 18，要求作过一个已知点并与四条已知线相切的圆锥曲线上的点。

对前者，第一步要连接这两个已知点形成一条直线，与原来的三条直线分成两组相交线。第二步将其按照前面介绍的方法，变换成两组平行线，第三步是对变换后的图形作出合适的几个点。最后施以逆变换。下面我们对变换后的情况作图，其中平行线 和 以及另外一条 线是由原来的直线变换而来，另一条平行于 的 线由连接原来两个已知点的直线变换而来，、 两点即是变换后的点。

问题的关键在于做出各个切点。设 上切点为 ， 上切点为 ， 上切点为 ，则各点满足下式：

请注意，上式只有最右边的式子是已经给定的。这样，我们找到 、、 各点后进行逆变换，连同原来的两个已知点一共五个点，问题得以解决。而现阶段我略可和读者说上一句的是，根据上面的式子，对于圆形这种特殊情况来说，显然 与 的比（上式第一个等号右边部分）为 ，而根据圆幂定理，上式最左端的部分也是 ，其余各项亦可同理验证，我们就这样针对一个非常特殊的情况验证了上式。另外按照《原理》所提示的，根据 、 在线段 的内外的不同，所找的切点 、、 也相应地位于各线段 、、 的内或外，但如果 、 一个在线段 内，一个在 外部，则无解。顺便说一句，前面文章里给大家提供的电子版《原理》，数学公式好像是以比的符号（:）为最低运算级，即先加减后求比值，读者应该注意这一点。有了三个切点之后，连同已知的两个点，一共知道了五个点，问题得以解决。

对命题 26 问题 18，假设四条切线变换后组成平行四边形 ，唯一的已知点经过变换后为点 ，则 关于平行四边形中心对称的点 亦在圆锥曲线上。以后只要参照前一问题的解决办法就可以了。