莱维分布——股票市场动态建模，揭穿股票价格的统计特性

在这篇文章中，我将分析股票价格的统计特性。我将首先说明，与大多数人的想法相反，收益的分布不是高斯分布。然后我将讨论莱维分布（ Lévy distributions），它有很宽的尾部，因此在预测可能的崩溃和其他罕见事件方面更有效。最后，我们将讨论相关性。同样，与常识相反的是，在常识中，相关性从一开始就是零。真实的金融数据只有在某个时间间隔Δt*之后才变得不相关（在此时间间隔之前，它是一个衰减的指数函数）。

股票价格统计分析

股票价格的动态行为一般基于以下假设：

（1）交易的连续性意味着报价之间有一个非零的间隔

（2）价格演变为一个具有基本随机变量的随机过程

• 式1：描述股票价格动态的随机过程的随机变量。

它们既是独立的又是同分布的，且有有限均值μ和方差σ。

（3）ln S(t)的价格动态是一个扩散过程。扩散是指某一物体从其浓度高于其他大多数地方的地方“扩散”出来。

• 图1：扩散过程的示例。当隔板被移开时，溶质扩散，充满整个容器。

随机变量的增量被假定为高斯分布。这个模型被称为几何布朗运动（GBM）。GBM为下列随机微分方程（SDE）的解：

• 式2：描述GBM的SDE

其中W(t)为维纳过程或布朗运动，μ称为漂移，σ为波动性。解是：

• 式3：式2的解。

• 图2：显示了漂移μ变化时GBM的几个例子。

标准差σ(t)的指数接近0.5，这意味着价格变化是独立的。

根据式1，在有限区间内的报价总数是发散的。因此，根据中心极限定理：

具有高斯分布。

• 图3：通过对新的随机变量求和来“平滑”，原始分布密度收敛为高斯分布

我们应该模拟S(t)和一个离散时间的随机过程：

其中Δt为有限区间。物理学家已经对这些离散过程的性质进行了详细的研究。

股票收益

物理研究通常关注价格的变化而不是价格本身。如果 ΔS(n) << S(n)， Δt很小并且价格变化缓慢，我们可以做出以下近似：

• 式4：随机变量的选择。

几何布朗运动的蒙特卡罗模拟比较：

• 图4：布朗运动的蒙特卡洛模拟例子。

用布朗运动的模拟：

使用年度漂移μ=10%，年波动率σ=20%和相同的正态分布随机数X(n)，我们得到图X它显示出非常可靠的一致性。

• 图5：对每日现货价格S(t)，几何布朗运动（实线）和布朗运动（虚线）的蒙特卡罗模拟的比较。漂移，波动，和选择的高斯随机数集是相同的。

因此，我们可以使用加法（而不是乘法）模型来计算股价：

• 式5：收益的加法模型。

在加法模型中，价格增量相加；而乘法模型中，连续的价格比率相乘。

一个数学插曲

莱维分布

• 式6：莱维分布。

是由法国数学家保罗·莱维（ Paul Lévy）和苏联数学家亚历山大·金钦（Aleksandr Khinchin）提出的非负随机变量的概率分布。莱维分布考虑了峰度。

• 图6：高斯分布和莱维分布的比较。

莱维分布是一个稳定的分布，它意味着具有该分布的独立随机变量的线性组合将具有相同的分布。因此它们具有标度性：

• 式7：稳定分布具有标度性质。

• 图7：自相似过程的示例。

然而，莱维分布有不同的标准差。而且，它们的最大值更大更窄，我们知道这不会发生在真实的金融案例中。

• 图8：某股票日价差的对数与高斯分布的比较。尾巴是更宽的，它的最大值更大更窄。

这可以通过使用截断参数截断尾部来解决。一个截断莱维分布的例子如下：

• 式8：截断的莱维分布。

其中N是一个标准化常数。

• 图9：法国数学家莱维和苏联数学家金钦

曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）是第一个注意到资产价格波动比高斯分布预测的更频繁的人，他们有大尾巴。

在一篇著名的论文中，H. E. Stanley和R.N. Mantegna利用1984-1989年的标准普尔500数据集来确定：

• 式9：股票变动的定义l。

• 图10：美国物理学家H. E. Stanley和意大利物理学家R.N. Mantegna

使用间隔Δt = 1，…，10^3min，其结果如下图所示。

• 图11：在Δt = 1分钟内，标普500的价格变化l与l/σ的概率分布。将高斯曲线（窄曲线）与莱维分布的最佳拟合进行比较。当l/σ≤6时，后者更好，但当l/σ≥6时，则呈指数下降。

以下莱维分布与l/σ≤6的数据吻合较好：

• 式10：莱维分布与l/σ≤6的数据吻合较好。之后，衰减是指数衰减。

莱维分布有两个主要的重要属性：

1. 他们的稳定性（自相似性）

2. 它们是概率空间中的吸引子

• 图12：识别稳定吸引子的收敛过程示意图

截断莱维分布在截断生效之前的很长一段时间内保持自相似。

相关性

几何布朗运动假定ΔS的相关性为零。为了验证这一假设，我们使用以下相关函数：

• 公式11：价格-价格相关性。

相关函数的值可以在区间[-1,1]内，但有三种情况是特别相关的，即：

如果1和2服从，则有：

• 式12：高斯过程的价格-价格相关性。

反之，式10从1到0呈指数衰减，且在较小时间内呈强相关性：

• 式13：价格-价格相关函数的指数衰减。

Δt* >15 时，我们得到了一个价格分布的候选方案。在Δt*之后，可以考虑一次价格变化为同分布的，分布为：

• 式14：当ΔS已经是同分布时， Δt* >15后价格变化的概率分布。

N*个因子的卷积累积分布为：

• 式15：式14卷积的累积概率分布

• 图13：标准普尔500指数与真实数据的累积概率分布。

我们注意到一些事情：

1. 用α = 3/2 （c和λ拟合）截断的莱维分布可以很好地描述分布式14。

2. 
   

3. 卷积很好地近似于t >> Δt*处的概率，但随着T的增加，卷积的形状收敛为高斯分布

4. 随着T的增加，真实的金融数据跨越累积分布（在开始时低于它，在尾部高于它）

5. 根据所分析的市场，高斯函数的收敛时间从几天到几周不等

继Stanley和Mantegna之后，我将快速分析道琼斯工业平均指数的动态。他们找出30只道琼斯指数股票的最大和最小相关系数。最大值是0.73，在可口可乐和宝洁之间，如图所示。

• 图14：可口可乐和宝洁ln S(t)的时间演变

他们还测量了强相关性保持强相关性的特征时间尺度。他们发现，从1990年到1994年，相关系数从0.73到0.51不等，这表明股票是高度同步的。