德国数学家、天文学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯被许多人认为是自古以来最伟大的数学家,他曾宣称:对欧拉作品的研究仍然是不同数学领域的最佳学派,没有什么可以取代它。——高斯 本文将描述瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是如何解决著名的巴塞尔问题的。欧拉是历史上最伟大的数学家之一。他的多产是一个传奇,他的作品集有92卷。皮埃尔·西蒙·德·拉普拉斯有一句著名的话:巴塞尔问题1650年,意大利数学家皮埃特罗·蒙奥利(Pietro Mengoli)首次提出了巴塞尔问题,欧拉在1734年解决了这个问题,这让他立刻得到了数学界的认可。这个问题要求自然数的平方的倒数之和:许多有影响力的数学家试图找到一个平方的倒数之和的公式。微积分的两位共同发现者,约翰·沃利斯和戈特弗里德·莱布尼茨都曾尝试过,但都遭遇了失败。欧拉28时就解决了这个问题,他的答案让数学界感到惊讶。他的第一个证明(后来他又提供了几个)绝不是严格的,但它的美丽、简单和独创性是惊人的。- 图4:标准化的和未标准化的sinc(x)函数(分别用蓝色和红色表示)
为了理解这一点,举个例子,考虑下面的四次多项式,它被写成零点的乘积:超越函数这类函数不满足如方程4这样的多项式方程。指数函数、三角函数和对数函数是三个著名的例子。欧拉将sinc(x)写成与式3中的f(x)相同的形式。使用基本的数学恒等式:- 由于方程5中的每一个根都有一个对应的负根,他可以这样写:
泰勒级数泰勒级数是函数的无穷项和的表示。每一项都是由函数在一个点上的导数值计算出来的。- 图6:增加泰勒级数的次数,它收敛于校正函数。黑色的曲线表示sin(x)其他曲线是泰勒近似,是1、3、5、7、9、11、13次多项式。
- 方程8:对应于函数sin(x)的多次泰勒多项式。这些函数的曲线图见图6。
你可以把方程8想象成一个无限次的“伪多项式”。这样的伪多项式有无穷根。根如方程5所示。比较两个结果欧拉的推导给了我们著名的沃利斯乘积。只要把x = 1/2代入方程6,求倒数。得到:一个严格的证明最后,我们将看到如何获得欧拉结果的严格证明。考虑到函数:然后定义数字E(n)并计算它,对方程11的第二个等式后的表达式进行积分:很明显,对于k是偶数的情况,右边的和是0。因此,可以用(2k-1)代入k,只考虑E的子索引为奇数的项:现在,为了完成证明,我们需要证明这个表达式消失了。由于这个证明过程相当费力,而且不是很有启发性,因此将省略它。其结果是:
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