一个数学家的叹息：2个方法摆脱背公式教学桎梏，让孩子爱上数学

本文字数4238，预计阅读时间10分钟。

阅读使人充实，分享使人愉悦。文章结尾附有思维导图，帮你梳理文中脉络精华。欢迎阅读，你离知识又近一步。

今天分享的书籍是《一个数学家的叹息》。

作者保罗·洛克哈特，一位杰出的富有传奇色彩的数学家。大概14岁时，他对数学产生浓厚兴趣（他特别指出，不是由于学校的数学课程）。为专心研究数学，他从大学退学，靠编程和当小学老师为生。1990年在哥伦比亚大学获得博士学位后，洛克哈特先后在加州大学伯克利分校的数学科学研究中心和布朗大学任职。2000年加入纽约的独立学校圣安学校，教导从幼儿园到12年级的数学课至今。

数学教育，不仅困扰孩子，也是很多成年人的噩梦。如何才能摆脱当下“刷题”“背公式”的教学桎梏，让孩子真正爱上数学？又如何让成年人意识到数学并不是只代表恐惧，而是神奇而美妙的艺术？

作者认为，就像绘画、音乐和诗歌一样，数学是一门艺术，我们的灵感需要被激发；数学又与游戏一样，要基于好奇心去探索。在本书中，作者既替孩子所接受的数学教育感到愤懑，也替数学本身感到惋惜，因此而呼吁教育者反思和尝试改变自己的教学方式，带领孩子能够真正走进数学的世界，领略数学之美。

01、当代美国的数学教育

音乐家梦到，音乐教育就是要让孩子掌握音乐这种语言，先学音乐理论，学五线谱，理解什么叫五度循环，什么叫和声，什么叫复调，不许唱歌不许演奏乐器。因为演奏或者是聆听音乐是太高深的课题，上了大学才能学。

洛克哈特说，音乐当然不能这样教，但是，今天美国的数学恰恰是这样教的。这是洛克哈特的不满。在他看来，学数学，应该像学艺术一样。他引用英国数学家哈代的话：一个数学家，就像一位画家或诗人，是模式的创造者。

把数学比作艺术，说数学的美学原则就是简单，这种说法并不新鲜。洛克哈特的数学教育理念有什么特别之处呢？很对人认为孩子不喜欢思考，所以要降低数学难度，让他们尝到思考的乐趣，才会喜欢学习。洛克哈特不认同这种教育理念。他说，面对数学问题，要有游戏精神。想要学好数学，学生要有好奇心，他必须想要知道答案，而且要不断尝试，乐在其中，用自己的想象力，来娱乐自己。

请你想象一个长方形中，有一个三角形，三角形的底边就是长方形的底边，三角形的顶点位于长方形上面那条边的任意一点，那么这个三角形的面积，是长方形面积的三分之二还是二分之一？解法很简单。洛克哈特做了一条辅助线，从三角形顶点，画一条垂直于底边的线。这条线把长方形分成了两个部分。这两个部分，都被三角形的斜边切成了一半。显然，这个三角形的面积，正好是长方形面积的一半。

这道题，我们在数学课上不是这么学的。数学老师只是告诉你一个公式，三角形面积等于二分之一的底乘高（A=1/2bh），然后就让你在习题中反复应用。洛克哈特说，他不是反对公式，而是反对不讲辅助线。三角形面积是长方形面积一半，这个事实不重要，重要的是用辅助线来切割。这个巧妙构想会让孩子明白什么叫数学方法，可以激发他更多的构想。如果他不懂得欣赏这条辅助线，就不能理解数学的美感和想象力。尝试画出这条辅助线就是把做题当游戏，由此得到对称的概念，就是乐趣。洛克哈特不仅反对直接告诉孩子结果，他也非常反感用讲故事的方式来讲数学。

比如，玛丽亚的年龄是她七年前年龄的两倍，请问玛丽亚几岁了。他说，你都知道她的年龄是她七年前的两倍这样重要的信息了，你怎么可能不知道玛丽亚现在几岁呢？这道题的关键，其实就是两个数字之和与两个数字之差的关系。这样看起来，数学显得不太友善，但是，想让数学看起来跟生活有关，把数学弄得友善，这只是教师的做作。

洛克哈特非常骄傲地说，不要把数学变得有趣。你不懂，才会觉得它无趣，你懂了，它就乐趣无穷。数学的美就在于它跟日常生活没关系，所以它才有趣。我们学校里为了让孩子学会计算圆周的长度和圆的面积，会编一套圆周先生和面积太太的对话，这是最无聊的故事。好的数学故事来自数学史，要讲清楚圆，就要讲数学史上人类为了测量曲线所做的种种努力。

洛克哈特的观点，很有挑战性，也很有颠覆性。我们经常会觉得孩子不懂，不想他们解释太多，想解释也解释不清楚。比如说，小孩子知道三角形有三条边，四边形有四条边，知道五边形、六边形，乃至正十二边形、正十七边形。他可能会问你，圆有几条边？这是一个很难的问题。一般来说，我们为了图省事，都会说，圆有一条边，但这条边是曲线。我们很难跟小孩子解释，如果你把边理解为一条线段，那么圆有无数条边，多边形的边数越多，其形状、周长、面积就越接近于圆。所以，我们可以把圆看成是由无数个线段组成的正多边形。圆是一种概念性的图形。你如果这样跟孩子解释，孩子的脑子就乱掉了。

但洛克哈特就是要高估孩子的理解力。他觉得，要想让孩子理解圆的面积和周长，就要讲数学史上的欧多克索斯和阿基米德。欧多克索斯是公元前400年的古希腊数学家，他对数学的一个重要贡献是建立了严谨的穷竭法，并用它证明了一些重要的定理。中国古代也有割圆为方的数学思想，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积。但穷竭法、割圆为方，涉及极限和无限小的概念，如果沿着这个思路讲下去，就会讲到微积分。

你肯定会想，孩子能懂吗？洛克哈特回答：我并不抱这样的期望。我想说的是，现在的数学课程里，完全没有数学的艺术与发现，没有数学的历史和哲学，这是不对的。数学课，一方面孩子要懂得数学符号和数学基础知识，另一方面也要掌握数学思想。他还说，对于文学，我们就不会有这种怀疑。学习诗歌，并不是记得一大堆诗作，而是自己创作。

小孩子当然不可能在数学上有什么创作。洛克哈特想强调的是，数学是一种探索过程，任何一种心智上的敏锐，都来自自己解决问题。在数学教育中适当引入数学史内容，是让孩子思考去如何解决问题，而不是被告知该怎么解决问题。定义和公式并不能让学生更聪明。

比如，数字有一个很神奇的现象，简单来说，就是把连续的奇数相加，会得到一个平方数。你想想，1加3等于4，4是2的平方；1加3加5等于9，9是3的平方；再继续算下去，1加3加5加7是16，16是4的平方；加到19，奇数之和是100，是10的平方。这是个规律吗？奇数之和是一个平方数？

洛克哈特说，目前我们还无法断言，就算检查100万个例子，也不能证明什么。实际上，在数学领域，关于整数就有数百个简单的问题，至今无解。但是，思考这个问题，是有意义的，把奇数相加跟算平方数，表面看起来是两个没关系的问题，为什么它们之间会有这种神秘的关联呢？他说，搞明白这个事情，才是你心智的进步，数学会让你的心智每天都受到这样的冲击。

02、如何教好数学

洛克哈特认为，我们应该建立一些没有形式的数学课程，学生遇到什么，就学什么。就是用问题引导问题，由此锻炼数学的技巧。他说，这个想法可能有点儿疯狂，因为这样做，学校不能保证所有学生都能获得同样的数学知识。但是，学校本来就不该做这样的保证，因为人和人就是不一样的，一个高中毕业生不知道半角公式，也没什么。

洛克哈特对美国的几何课狠狠地吐槽了一番。洛克哈特说，中学的几何课，比披着羊皮的狼还糟糕。学校尝试用这个课程向学生介绍论证的方法，却摧毁了理性论证的本质，磨灭了学生对几何的喜欢，让他们永远不能以自然又直觉的方式来思考数学。

比如，两条交叉的直线，一个夹角等于与它相对的那个夹角。这个事，凭直觉就能看出来，但美国中学的几何课却需要你证明它，证明过程非常简单，但是看起来特别无趣。洛克哈特说，这本来应该是用最自然的语言写出的趣味论证，却被搞得沉闷、没有灵魂。直截了当的观察，写成了一堆假学问。学生要学数学论证，但是，只有当你发现事情违反直觉，或者有矛盾的时候，你才需要严格的证明。

教数学的时候，洛克哈特特别强调直觉。他有一本叫《度量》，就是在唤起我们对几何的直觉。这本书的第一页上画了一堆等边三角形、正方形和正六边形。洛克哈特说，我喜欢这几个形状，它们是对称的，每个边相等，每个角相等。 接着他把4个正方形摆成一个更大的正方形。4个正方形相交的那个点，正好有4个直角，一个直角的角度是90度，四个直角就是360度。

在这里，洛克哈特引入了一个基本的概念，叫圆角，圆角就是360度的角。接着，他讲道：正三角形的内角是60度，6个正三角形围成一个360度的圆角，正6边形的内角是120度，3个正六边形正好围成一个360度的圆角。这几个形状在磁力贴上很常见。因为它们更容易拼在一起，搭建成一个更大的形状。

我们知道，360度就是沿着一点转一圈，圆角就是360度。假设你沿着正三角形的三条边转上一圈，你就回到了原点，也就是完成了转360度。可是，三角形的内角之和是180度，这是怎么回事？

比如，你开车的时候，如果掉头，角度其实为零，但你要转180度。在这里，洛克哈特又引入内角外角的概念。我们直觉想到的0度，就是内角角度；掉头的时候实际转了180度。这就是外角的角度。当我们在三角形的三条边上行走时，转的并不是内角的角度，而是外角的角度。

《度量》这本书生动地展示了洛克哈特的教学方法和教学理念。从好奇心出发，怎么度量，这是最基本的问题。然后，他开始带着我们在数学中游戏，在各种图形中画辅助线，把一个图形套入另一个图形，将代数公式用几何图形展示出来。问题一步步深入，我们因此得到了数学的愉悦。

洛克哈特认为，教数学课，最终是要让孩子领略到数学的美。孩子要有好奇心、游戏精神，并且能在想象力中愉悦自己。他在教程中引入数学史上的一些内容，就是要孩子面对人类曾经面对的一些基本问题，怎么计算，怎么度量。

数学中一个常见的悖论是，引入一个更高的理论，让原本看起来难的问题变得简单。比如我们小学课程中经常面临的一些应用题，一旦学会设未知数，就变得简单了。但我们的小学课程不讲未知数，洛克哈特的教学理念是从问题出发，不怕引入更高的数学概念，也不一定要割裂开几何和代数课。面对问题，解决问题，从一个问题到另一个问题，只有在这样的过程中，我们才能锻炼出真正的数学技巧。