反比例函数中隐含的相似结论

结论一：

如图所示，矩形OABC的边AB、BC和反比例函数交于点E、F，则EF∥AC。

分析：

不动脑筋可以求直线AC、EF的解析式，看两条直线的k是否相等，不过计算量较大。我们可以从几何角度来思考，很多同学总想直接寻找角相等来证明EF∥AC，但题目给的条件是反比例函数，容易表示的是点的坐标和线段的长，结合图形可以发现只需要证明△BEF∽△BCA就可以了。

解答：

把图形画成如下模样，结论仍然成立

结论二：

如图所示，直线y=kx+b与反比例函数交于点C、点D，过点C、D分别作坐标轴的垂线，则EF∥CD，MN∥CD。

分析：

证明方法和上一个结论大同小异，也是利用相似来证明角相等，从而得到直线平行。

解答：

画到上面MN和CD也是平行的

应用：

如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，

（1）k的值为　   　；

（2）当m=3，求直线AM的解析式；

（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．

结论三：

如图所示，正比例函数y=kx交反比例函数于点A、点B，分别过点A、B作x轴的平行线交反比例函数于点C、D，则BC∥AD。

分析：

解决这个问题一样有同学可能会利用求直线解析式的方式求出BC、AD的解析式，发现这两条直线的k值相等，从而判定BC∥AD；其实还可以通过证明四边形ACBD为平行四边形来解决问题。

解答：

类似的如下面图形中AC∥BD结论也是成立的。

应用：

如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为　　，的值为　　．

结论四：

如图所示，正比例函数y=kx交反比例函数于点A、点B，点C为反比例函数图像上介于AB之间的一点，过点C作x轴的垂线交x轴于点D，则CD平分∠ACB。

分析：

此题需要证明角平分线，跟反比例函数一起我们还是表示出点的坐标，线段的长，然后我们可以考虑相似来证明角相等。

解答：

如下图所示，如果AC与x轴交于点E，BC与x轴交于点F，则CE=CF.

应用：

有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=x与y=（k≠0）的图象性质。

小明根据学习函数的经验，对函数y=x与y=，当k＞0时的图象性质进行了探究．

下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，设函数y=x与y=图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（﹣k，﹣1），则B点的坐标为　      　；

（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．