【原】暑假特辑12 从知识体系的顺序过渡，谈对“规形图”结论证明的再认识

        2017年8月1日至5日，笔者有幸参加了在常州举办的一次民间教研活动，暨第一届“数学行者”初中数学教学研讨会。四天的时间，从早到晚，300多位教师相聚一堂，共同学习探讨，收获良多．

        其中，广州苏德杰老师作了讲座《它们是一伙的——培养学生思维的逻辑性与创造性》，从最简单的三角形内角和定理的证明过程入手，推演到规形图的n种证法，让笔者感悟颇深，触发了自己对以往教学的反思．

        苏老师在讲座中给出了这样一幅图，让人印象深刻！

       从学生们熟悉的三线八角，到证明三角形内角和为180°，是教学的必经之路，但如何由证明过程中所必须的添加辅助线方法，带给学生更多的思考呢？

        在教材中，给出了这样的一种辅助线方式，过顶点作一边的平行线，构造2对内错角相等，但假如就此一带而过，就错失了让学生自主探究的机会！同位角，内错角，同旁内角，三种角，若用两次，则有六种证法，何不让学生一探究竟？下面给出其他几种的无字证明：

      接下来，由三角形内角和定理，可引出外角定理，继而引出多边形内角和定理，或者也可以直接通过三线八角的相关内容，得到外角定理(作平行即可)．

       记得南京特级教师卜以楼在当晚的交流分享中也将以上内容拿出来举例，他说，在同一体系内的知识可以分3类，上位，本位，和下位．在这里，三线八角是上位，三角形内角和是本位，而外角定理与多边形内角和是下位．

       我们教师平时过多研究下位内容的教学，变式，拓展五花八门，却忽略了上位，本位内容与下位内容的联系，没有真正让学生从知识的上位自然过渡到知识下位，学生当然不会很快完成下位难题的解答，更不谈举一反三．

       苏老师讲座第二个例题是规形图结论，也许在以往教学中，我们只是让学生记住了结论，部分同学在反复几遍的讲解中记住了辅助线的做法，但更多的学生还是不能将结论变成自己的，以至于在考试中丢分．

       那么，如果从知识体系的顺序性，该如何讲解呢？

1）从三线八角入手：

      则需要思考：如何添加平行线？过几个点添？

      若过点B作平行，只可作DC，或AC的平行线．若只作DC平行线，还不能解，因此，再过一个点A，作DC平行线．方法即可归纳为：过已知四条线段中任意一条的2个端点，作另外2点所在线段的平行线．

      以下为无字证明：

2）从三角形内角和入手：

     如何构造三角形？4个不在同一直线上的点两两相连，可有4×3÷2＝6条线段，则剩余BC，AD可以分别连接．

3）从外角定理入手：

    这正是学生屡教不会的内容，但此时再反思，全因缺乏教师引导学生从上位与本位到下位内容的过渡，详细证明可见：

第16讲  期末复习专题1   七下几何模型再回顾(上)

4）从多边形内角和入手：

     如何构造多边形？如构造四边形，则需4个点，ABC，DBC各缺一个，故再添一个点．构造五边形，则添2个，以此类推，无数种方法．

5）其他解法：

      反思：以上不同的方法，哪些是学生易于接受的？哪些是比较简单的？这需要根据学生的实际情况进行选择．但是，教师在讲解前，则应考虑从整个知识体系的顺序出发，从上位到本位再到下位，让学生感受知识递进的过程，从而逐渐学会举一反三，触类旁通．

附：第一届“数学行者”初中数学教学研讨会盛况