【原】布冯伯爵——18世纪思想之父之一，设计出一个影响深远的数学问题

博学多才的进化生物学家恩斯特·迈尔（ Ernst Mayr ）这样描述法国数学家和宇宙学家布冯伯爵乔治-路易·勒克莱尔（ Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon，1707-1788）：

确实，[…]18世纪下半叶自然史上所有思想之父——恩斯特·迈尔

他的作品，特别是他的《自然史》，影响深远，涵盖了广泛的主题，包括材料科学，物理，化学和动物自然史。

他对数学的贡献

乔治·路易斯·勒克莱尔（后来的布冯伯爵）对数学的第一个重大贡献是他的书《在法兰西的大街上》（ Sur le jeu de franc-carreau），在书中他将微积分技术应用到概率理论中。布冯针的著名问题就是以他的名字命名的(见图2)，本文将对布冯针进行描述。

• 图1：乔治-路易·勒克莱尔，布冯伯爵。

问题陈述

这个问题的简化版本可以表述如下：

考虑把一根2厘米长的针扔在地板上。针落在地板缝上的概率是多少？

• 图2：布冯问题的初始表述。

正如我们将要看到的，这个问题的解允许我们估计π的值，这是一个完全意想不到的结果。

• 图3：基于布冯针问题求π的实验

定义变量

图4和图5显示了描述针落在地板上的位置和角度所需的变量(x，θ)。变量x测量的是从针的中心到最近的平行线的距离。角度θ是针和线段OP之间的角度。

• 图4：针穿过其中一个裂缝的情况。

(x，θ)有两个约束条件，

• 方程1：变量(x，θ)服从的两个约束

• 图5：针没有穿过裂缝的情况。

如西蒙斯所述，这相当于在矩形中选择x和θ的问题：

• 图6：描述针落在地板上的位置和角度相当于在矩形中选择x和θ，如这三个

现在请注意，当针穿过一条平行线时，要遵守以下条件：

• 式2：针落在地板缝上时x和θ所满足的条件。

以图形方式有：

• 图7：式2用图形表示。

利用式2，或者等价地，图7，我们可以计算出针落在平行裂缝上的概率：

• 式3：针落在地板缝上的概率。

泛化

式2所给出的不等式可以推广到尺寸为L的针穿过一个由d隔开的平行裂缝的问题：

• 式4：平行线距离为d时，尺寸为L的针穿过平行缝时式2的推广。

新的概率如下：

• 式5：当两条平行线之间的距离为d时，一根长为L的针落在一条平行线上的概率。

然而，请注意，这种计算仅对L小于或等于d有效。一般问题可以分为两种情况：大针和小针。

• 式6：问题可以分为这两种情况。

我们已经解决了第一种情况。让我们谈谈第二种情况。在这种情况下，我们可以计算x和θ的联合概率。假设两个分布都是均匀的，则x的概率密度为2/d（对于x∈[0，d/2]，因为概率必须为1），而θ的概率密度为2/π （θ∈[0，π/2]）。因此，联合概率是它们的乘积4/(πd)，只有当x和θ的分布同时非零时，联合概率才非零。

对联合分布进行积分后得到：

• 式7：长针L>d的概率。

通过实验确定π

假设我们把一根长为2的针扔到地板上，n = 10000次。地板缝之间的距离也是2。它将落在一个地板缝上的概率由n/N给出，其中n表示投掷的总次数，N是针落在地板缝上的次数。我们的计算表明：

• 式8：根据我们的计算，随着抛掷次数的增加，针落在缝上的次数的百分比应该接近2/π。

因此，我们可以利用这个简单的实验来估算常数π的值，即：

• 式9：如果我们把针扔在地板上多次，我们就可以估算出常数π的值。

下面的动画显示了我们刚才描述的实验的模拟。

• 图8：布冯针实验的模拟（使用Python 3）。第二幅图显示估算确实收敛到π。