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下面这道题目大家应该都比较熟悉了，在学习勾股定理或旋转的时候，常常会遇到这类题目。在这里大家和一起来温习下。 【题目】 已知，为等边三角形内一点，，，，则 ． 【分析】 题目要求的是三角形的面积， 那么我们想到的是什么呢？三角形的面积S=底×高÷2，所以考虑先求边长。 那怎么求边长呢？题目只给出PA、PB与PC的长度，且比较特殊。 容易联想到“勾三股四弦五”，可以适当进行构造直角三角形。 如图所示，选择其中的一条线段如PC进行构造直角三角形。令PD=3，CD=4。 那怎么把原来的PA与PB进行转化呢？ 由于等边三角形的三边相等，任意两边都是“等长共顶点”的线段，所以可以考虑利用旋转进行构造。如下图所示： 将△APB绕点A逆时针旋转60°，并落在△AP′C处。此时易得△APP′为等边三角形，△PP′C为直角三角形。得∠AP′C=60°+90°=150°。 但是这个和求边长有什么关系呢？ 由于AP′=3，P′C=4，且它们的夹角∠AP′C=150°为定值，所以△AP′C的形状与大小是固定的（类似SAS）。那么就相当于解三角形了。 初中阶段学的都是解直角三角形，那么可以考虑构造直角三角形。如下图所示： 易得AD与CD的长度。那么结论就出来了。 ． 那么，能不能过点C进行构造呢？也是可以的。 方法是一样的，这里就不重复了。 那同学们就问了，还有没有其它方法介绍呢？ 当然有啦。 如上图所示，分别将三个三角形旋转出去，得到一个六边形。这六边形分别由3个等边三角形与3个直角三角形的面积组成。算出来再减半即可。 三个等边三角形的面积为． 三个直角三角形的面积为． 所以六边形的面积为． 那么△ABC的面积就是． 这种方法是不是更简单直接呢？ 【拓展】 下面是旋转辅助线的几种不同的方法： ①绕点A逆时针旋转60°． ②绕点B逆时针旋转60°． ③绕点B顺时针旋转60°． 如果绕点C旋转呢？当然也是可以的，不过没有那么好算。所以就不作考虑。 如上图，将△APC绕点C逆时针旋转60°，此时要算也是类似。如果用高中的余弦定理则会更简易一些。这里不再拓展了。 辅助线作法总结如下： 【举一反三】 如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，则∠APB= ．
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