【原】欧拉方法，用初等微积分证明质数有无穷多个，极为巧妙

为了正式定义质数，我将使用戈弗雷·哈罗德·哈代（G. H. Hardy）和爱德华·梅特兰·赖特（E. M. Wright）的经典数论书《数论导论》中定义的“改进”版本。

• 图1：英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特，著名的书《数论导论》的作者

我们只考虑正整数。一个数p被称为素数，如果：

• p > 1：数字1既不是质数也不是合数。1不是质数的一个很好的理由是为了避免修改算术基本定理。这个著名的定理说：“整数只能用一种方式表示为质数的乘积。”假设1为质数，那么这个唯一性就会消失（例如，我们可以将3写成 1 x 3，1 x 1 x 1 x 3，1^12345 x 3，等等）。

• P除了1和P没有正因数

• 图2：与合数相比，素数不能排列成矩形，只能是一条线

素数的无限

质数的数目是无限的。前几个素数是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37等等。“素数有无限个”这个重要定理的第一个证明是由古希腊数学家欧几里得提供的。

瑞士伟大的数学家莱昂哈德·欧拉只用了基本微积分就证明了素数有无限多个。

• 图3：前60个整数的π(x)的值由下面的式1定义

我们首先考虑小于或等于某个x∈R的素数的个数，其中R表示实数集合：

• 式1：小于或等于某个x∈R的素数。

这个函数称为素数计数函数。我们可以随便给质数编号，但这里我们还是按数值递增的顺序给它们编号：

• 式2：素数按递增顺序编号。

现在考虑下面所示的函数f(x)=1/x。

• 图4：函数f(x)=1/x

该函数在区间[1，∞]内的积分是x的对数：

• 式3：1/x从1到x的积分等于x的对数。

现在将1/x以下的面积与图中显示的阶梯函数以下的面积进行比较。稍后我们将更仔细地验证整数。

• 式4：满足下面式5的x的区间。

满足以下两个不等式：

• 式5：不等式需要证明。

其中，最后一个和扩展到所有m∈N，仅包含素数p，且：

为了便于理解，让我们考虑一个例子，比如n=6。在这种情况下，式4中的区间为x∈[6，7]，不等式为：

• 式6：n=6时，式5的例子。

第一个不等式可以从图4中看出。第二个呢？在这种情况下，在上面的不等式中m∈N的值是哪些？

• 2、3和5只有一个质数因子。因为它们是质数，所以它们唯一的因子小于6。

• 合数4 = 2×2，6 = 2 × 3只有2和3为质数，且都小于6

加上1后，上面列出的数的倒数（即2、3、4、5和6）的和已经等于式6中不等式之间的和，因为有无限多个m（调和级数发散到∞），满足式6中的第二个不等式。更正式的表达如下：

• 式7：调和级数是发散的

现在，算术的基本定理表明：“一个整数只能用一种方式表示为质数的乘积。”因此，式5中的每一个m都可以唯一地表示为以下形式的乘积：

• 式8：式5中的每一个m都可以唯一地表示为这种形式的乘积。

其中，k为每个质因数在m的因式分解中出现的次数。因此，式5中1/m的和可以表示为：

• 式9

读者可以通过一个例子来验证这一点。括号内的和是一个简单的几何级数：

• 式10：式9括号内的几何级数。

• 图5：比值为1/2，第一项为1的收敛几何级数

式9中的乘积是除以所有小于或等于x的质数。因此，将式9与式1比较，可以得到式 5：

• 式11：利用式9得到式1。

因为下面的不等式一般是成立的：

得到了：

这意味着：

由于log(x)是无界的，如下图所示：

• 图6：log x函数

素数函数π(x)也没有界限。因此，我们得出结论，存在无数个质数。