在⊿ABC中,I为内心,D为内切圆在BC边上的切点,作D关于I的对称点D’,已知AD’=ID’.以D’为圆心,AD’为半径作圆Γ与AB、AC分别交于点X、Y≠A.过A作AZ⊥BC,与Γ再次交于点Z.求证:AD、D’Z、XY三线共点. 证明: 如图1所示,延长AD’交BC于点K,过点D’作BC的平行线分别交AB、AC于点R、S.连IX、IY、IB、IC、D’X、D’Y.下面先证明BD=CK,XY//BC. 显然RD’/BK=AR/AB=AS/AC=SD’/KC. 另一方面由熟知的结论有⊿IRD’∽⊿IBD, ⊿ISD’∽⊿ICD,有ID·ID’=BD·RD’, ID·ID’=CD·SD’,综合起来就有BD/CD=CK/BK,所以BD=CK. 显然IX=IY,D’X=D’Y,于是ID’⊥XY,由已知条件显然ID’⊥BC,所以XY//BC. 于是AP、AT为∠BAC的两条等角线,所以PT//BC.由于CK=BD,而OT过点K,所以OP过点D.由已知条件,AD’=ZD’,而PO=OA,所以⊿AZD’∽⊿APO. 显然⊿AXY∽⊿ABC为位似图形,位似中心为A.XY与BC,ZD’与PO,AD与AW分别为位似对应边.由OP、BC、AD相交点D知AZ、ZD’、XY共点于W. 命题得证! (欢迎关注微信公众号:数学是思维的体操.) |
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