数学课 · 一题练透十一问

这是一节专题课，针对高中数学立体几何部分需要证明的定理和非建系运算求解的相关问题的专题课。

我认为对高中阶段的老师和学生来说，这节课的价值应该还是比较不错的。所以进行了分享。特别是在端午假期进行分享，可以让居家学习的学生们也能看到专题课的内容进行提前的准备与学习。

从入职就听说学校有位领导曾经讲过一节非常优秀的课，内容就是根据一个正方体，串讲立体几何部分的定理与知识点。可惜一直都没有机会学习这节课。

当我结合相关资料，从课本的一道例题开始，开始用一个正方体整理串讲这些内容的时候，我觉得虽然我没法学习领导的那节课，但我可以做出自己的这节课。

下面就是这节课的课件与教学设计分享。题目是改编自“满堂花醉三千客，一剑霜寒十四州。”（当然意境全无了）

首先是一道证明面面平行的例题。让学生独立完成，目的是为了提醒学生不能使用“两组相交直线分别平行”证明面面平行，要用线面平行来证明面面平行。

做完后，告诉学生这道题的题源是课本的例题，提醒学生要认真阅读课本，学会课本的证明过程与思路。

接下来，这节课就是由这个正方体的例题不断深入了。比如，由面面平行的定义可以将这道题进行改编。

面面平行后，有没有可能找到一条直线与这两个平面都平行？体对角线A1C就是这样的一条直线，通过改编2可以证明。

有垂直的线了，那么干脆求一下距离试试，点面距就是点到射影的距离。找距离的关键就是找交点。

求了一个点面距不够，既然例题说了面面平行，那干脆把面面距、线面距都求一下吧，就是改编4与改编5。

在改编2的基础上，可以直接进一步考察面面垂直的证明，也就是改编6要证明的面面垂直。

在改编6的基础上，通过不建系的方法，求线面角、二面角，即改编7与改编8。

有了线面角、二面角，怎么能缺得了异面直线所成的线线角呢？而这里，可以找到特殊的点，证明线线角是90°，也就是异面直线的垂直，见改编9。

熟悉吗？改编9又是课本的例题。从课本的例题出发，不断深入考察，又回到了课本的例题。

当然，学有余力的同学还可以继续深入思考一个有难度的改编10，也就是在例题的基础上，通过找特殊点让两个平面不平行，求此时的二面角。

一道课本例题，不断思考不断深入，就可以通过一个正方体的模型，将面面平行、线面平行、线面垂直、点面距、面面距、线面距、面面垂直、线面角、二面角、线线角等立体几何证明与运算的重点概念全部考察。

这节专题课能把这十一问讲明白，让学生理解这些重点概念，就可以了。

数学的学习一定不能急。慢慢来。

这节专题课，并没有各种各样的数学模型让学生去思考研究，而是非常简单的一个正方体，通过不断深入让学生去理解重点概念。

我认为，必须确定学生对基本概念的理解没有问题的情况下，再去做各种模型的变式练习才有意义。所以，我就准备了这样一节课。希望能帮到畏惧数学和对立体几何没有空间想象力的学生们。

考虑到方便其他老师授课和非我的学生进行答案订正，我也将学案、课件和我写的步骤进行分享，如果有的地方有疏忽，还望见谅。

学案第一张——

学案第二张——

答案解析——

当然，如果有老师看得上这节专题课的话，这些电子版我也会发在群里方便各位老师直接使用。

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之前在书上看到过——数学学科备考的核心是思维问题，包括思维的深化、活化、透化，就具体操作而言，就是通过强化思维训练，使学生举一反三。

课本里有那么多内容需要我们不断研究不断领悟，继续读课本，继续思考。