中考数学压轴题分析：相交弦定理解决线段定值问题

本文内容选自2020年西藏中考数学压轴题，题目涉及二次函数与圆有关的定值问题。虽然不提倡大家学习课本之外的内容，但是有时候了解一点还是有一些帮助的。何不看下本题呢？

【中考真题】

（2020·西藏）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，连接，，，若，求点的坐标；
（3）如图乙，过，，三点作，过点作轴，垂足为，交于点．点在运动过程中线段的长是否变化，若有变化，求出的取值范围；若不变，求的长．

【分析】

题（1）代入点A与B的坐标即可得到抛物线的解析式。

题（2）中点P是动点，要求△PAC的面积，用铅锤法的话，很多同学可能不熟练，因为点P在AC的同一旁。当然也是可以，直接过点P作x轴的垂线，交AC的延长线于一点即可。

当然，本题还有很多种方法，直接求，割补法和平移等等都可以。可以直接在OC上面取一点，使得三角形面积为15/2，然后作平行线即可。方法多样。

题（3）问DE是否为定值，则需要求出DE的长度。由于AB与PE是圆内两条相交的弦，那么就可以连接构造“X”字型的相似得到DE的长度即可。

设点P的坐标，表示出DA、DB和DP的长度，然后根据相似得到DE=DA·DB/DP，得到DE=2。

这其实就是相交弦定理。本质是相似三角形的判定与性质产生的结论而已。

【答案】解：（1）二次函数的图象与轴交于，两点，
二次函数的解析式为，
即．

（2）如图甲中，连接．设．

由题意，，，
，
，
整理得，，
解得或（舍弃），
．

（3）结论：点在运动过程中线段的长是定值，．
理由：如图乙中，连接，，，设，，，．

由题意，，
，
解得，
，，
，
，
，
另解：，，为定值．
点在运动过程中线段的长是定值，．