【原】反比例函数中的数学思想

一、数形结合思想

　【思考与解析】先看位置：当k>0时，两支双曲线分别位于一、三象限内；当k<0时，两支双曲线分别位于二、四象限内，故k₁＜0，k₂>0，k₃>0；再看渐近性：反比例函数的图象无限接近于x、y轴,但永远达不到x,y轴,并且∣k∣越小，图象越接近坐标轴，故k₃>k ₂．综合所述，可得k₃>k₂>k₁，选B．

　　【反思】在解决反比例函数的问题时，熟练掌握反比例函数的图象与系数k的关系，把数和形结合起来是解答这类问题的关键．另外，此题还可用特殊值法，也就是用一个具体数值代替这个式子中的字母求解图象问题．在上例中，根据图象特征，很显然k₁为负值，可取k₁＝-1，k₂＝1，k₃＝2，画出其图象，如果不符合题中提供的图象特征，则k₂、k₃交换数值，也可判断k₁、k₂、k₃的大小．

　　二、方程思想

（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的表达式；

　　（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

　　【思考与解析】（1）我们说两个图象的交点，也就是坐标同时满足两个函数表达式的点，这两个点的坐标既可以代入第一个函数表达式，又可以代入第二个函数表达式，故可以用下面的方法来求解．

（2）在此问题中，函数的值指的就是函数图象中纵坐标的值．一般情况下，以两个函数的交点为分界，谁的图象在上面，谁的值就大．根据图象可知，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方时，一次函数的值大于反比例函数的值．

　　∴当x<−2或0<x<1时，一次函数的值大于反比例函数的值．

　　【反思】本题主要考查了利用方程和方程组求解函数表达式的知识．在解答时，一定要读懂题意，找出图象中的交点坐标，有时也称为公共点坐标，把其公共点的坐标代入函数表达式，通过列方程和方程组求解．

　　注意：一次函数的表达式的求解至少需要两个点的坐标，反比例函数表达式的求解需要一个点的坐标．