几何分析学习笔记——Ricci 流初探

Ricci 流方程解的局部存在性，唯一性及基本恒等式

本节我们介绍Hamilton的Ricci流概念及其重要性质.由于主题庞大，我们只能不给证明地触及基本的要点.有兴趣的读者可参考相关参考文献以获取更多细节.

我们从介绍定义和记号开始.除非另有说明，一般地，表示完备紧(或非紧)Riemann流形，, 表示度量和Ricci曲率；分别是相应的梯度和Laplace-Beltrami算子；带或不带指标的代表一般的正常数，它们在不同式子之间的值可能不一样；如果度量随时间改变，则或将代表相应的距离函数；或者,或代表的体积元；我们将用或表示在度量下，以为心，半径为的测地球；表示按度量计算的体积.我们仍用, 分别表示的梯度和Laplace-Beltrami算子，在不会有混淆时不指明时间.

定义：设是Riemann流形，是区间上一族与时间有关的度量，令为相应的Ricci曲率，如果

则称是Ricci 流.

这个由Richard Hamilton 于1982年引进的方程组是退化的拟线性二阶抛物方程组. Hamilton 对于3维紧致流形证明了，如果初始度量的Ricci曲率为正，则Ricci流在有限时间内以一致方式产生奇点，通过仔细研究奇点的形成，他证明了具有正Ricci 曲率的3维紧致流形微分同胚于标准3维球.

我们以讨论Einstein流形上的Ricci流这个简单例子作为准备.

设是配备一族度量的Riemann流形，这族度量满足

这里，是常数，是由Ricci流确定的函数. 由于Ricci 曲率张量在伸缩变换下不改变，我们有

因此，Ricci 流方程化为

从而

如果, 则初始度量的Ricci 曲率为正, Ricci流在时出现奇性.而当 时， Ricci流在全部时间内都存在.

Ricci 流是度量的二阶弱抛物方程组.最初，Hamilton借助于Nash-Moser 隐函数定理对紧流形上的Ricci流证明了局部存在性和唯一性.然后，De Turck 给出了一个简单得多的证明. De Turck 通过用一族与时间有关的微分同胚将Ricci 流转化为严格抛物方程组. 而通常的严格抛物方程组理论蕴含转化后的方程组和原来的Ricci流的存在性和唯一性.在非紧情形，施皖雄证明了曲率算子有界的流形上的Ricci流的局部存在性.陈兵龙和朱熹平在相同条件下证明了唯一性.田刚和吕鹏各自独立地证明了上径向对称度量的非紧Ricci 流的唯一性,即Ricci流标准解的唯一性.我们将这些结果总结为下面三个定理.

定理  设是紧Riemann流形，则存在常数,是的Ricci流的初值问题

在上有唯一光滑解.

证明：我们将证明分成三步.

第一步，构造修改后的Ricci流对应的严格抛物方程组.

仿照De Turck的做法，考虑抛物方程组，它在与时间无关的局部法坐标系下可写成

上述方程组中各项的定义如下：

(i)是关于下列向量场的Lie导数：

(ii)和分别是的Ricci曲率和Christoffel符合.

(iii)是初始度量的Christoffel符号.

下面证明(2)是度量的严格抛物方程组.

对向量场,，成立

因此，在局部坐标系下，有

这里， 代表关于的对偶1-形式的协变导数的第个分量，即的第个分量，其中, .

(4)右端的主项是那些含度量的二阶导数的项，在局部坐标系下，利用下面的局部公式将它们写出来：

因为

从而

此处及以后证明中的低阶项是那些至多包含的一阶导数的项.

利用(3)知，

从而

将指标改为, 并将 互换, 得

结合 (5),得

因此，  (4)可写为

从而，(2)是半线性严格抛物方程组.标准的抛物方程组理论表明， (2)至少在短时间内有光滑解.

第二步，证明修改后的方程组的解通过一族微分同胚产生最初的Ricci流的解.

 令为(2)的光滑解，用方程

定义一族微分同胚 , 其中是 (3)中定义的向量场.注意，对上的光滑函数以及 点,有

我们证明度量

是最初的Ricci流方程的解.由于 ,计算得

另一方面，

因此这就证明了最初的Ricci 流的短时间存在性.

第三步， 证明唯一性.

首先，注意上述过程可逆.即若是Ricci流的解，则 是(2)的解.

为证明这个断言，我们只需要说明在度量下，构造的方程有段时间的光滑解. 这可在局部坐标系下方便地做到.令 是第一步中给出的与时间无关的法坐标系，假设由

给出，令 为已给出的的Christoffel符号,则由常规的计算，的Christoffel符号为

由第一步的构造

由于对任何光滑函数, . 因此

由此， (6)可以写为

注意， 这里 , 且 . 因此， (6)是拟线性严格抛物方程组，有唯一的短时间光滑解.

上面定理中的度量称为初始度量，有时需要适当伸缩度量，使其称为规范度量. 下面我们就来定义规范度量.

定义（规范度量和规范流形）：Riemann流形上的度量称为规范度量，如果 处处成立且每个单位球的体积至少是欧式单位球体积的一半. 配备规范化度量的Riemann流形称为规范流形.

显然，总可以用一个较大的数乘以紧流形上的度量，使得配备放大了的度量的流形是一个规范流形.

下面两个定理将上面的Ricci流的存在性和唯一性的结果推广到了某些非紧流形上.

定理：  设为曲率张量有界的完备非紧Riemann 流形，则存在常数,使得Ricci流的初值问题

在上有曲率张量一致有界的光滑解.

定理：[陈兵龙-朱熹平]    上述定理中的解是唯一的.

由于一些技术性问题，像控制曲率和单射半径等几何量在无穷远附近的性质,这两个定理的证明非常长.读者可以参考原始论文以获知证明的基本细节.

在下一命题中，我们将总结R.Hamilton所证明的一些公式，这些公式描述了几何量沿Ricci流的演变.

命题：  设为Ricci流，则下述结论成立

(i)令 为相对于的数量曲率，则

(ii)令为相对于的体积元，则

(iii)令, 且为在度量下的距离.假设距离是的光滑函数，则

这里是对所有连接的在度量下以弧长为参数的最小测地线而取，且并且选取,使得 构成的一组基. 将上述基平行移动得 的单位正交基 . 最后， 是沿的Jacobi场,满足 , 且 .

我们注意到(9)的右端是指标形式的和.由于是Jacobi场，指标定理表明 ，其中

因此，

其中<span role="presentation" data-formula="X(s)=c" (s)'="" data-formula-type="inline-equation">.由此 及 , 得

因此，

情形2

我们只需要将情形1中的换为(小于), 并重复其中的证明.

情形3

证明几乎是平凡的: