【原】数与图(18)——求积分

在《数与图(14)》中我们给出了积分的定义：区间[x1,x2]内函数曲线与x轴之间所包围的曲边梯形面积。本文将根据这一定义，利用程序求出六次幂函数在特定区间内的积分近似值，然后再利用数学方法求出同样区间内积分的精确值，并进行对照。

用程序求积分的近似值，很容易想到要使用循环语句，针对区间[x1,x2]内间隔为dx的每一个点，求该点附近的微面积ds

ds= y*dx

然后再将全部的ds累加起来，就得到了该区间内的积分值。随着dx的减小，积分的近似值趋近于精确值。

将《数与图(17)》中的项目另存为“求积分”，在水平布局6中添加一个按钮，命名为“积分按钮”，将显示文本修改为“求积分”，然后开始编写程序。

首先声明一个全局变量——积分区间，如图1所示，设其初始值为(0.5,2)，稍后会将其改为(-1,0.5)。

图1 声明全局变量——积分区间

创建一个有返回值过程——积分，代码如图2所示，其中的参数x1、x2为积分区间的边界值，且x1<x2，参数dx>0。

图2 有返回值过程——积分

再创建一个无返回值过程——填充积分区域，代码如图3所示。

图3 无返回值过程——填充积分区域

最后编写积分按钮的点击事件处理程序，代码如图4所示。在点击事件中，首先绘制六次幂函数的曲线，然后针对选定的区间，计算不同dx所对应的积分值，并将结果显示在标签中。最后一行代码的作用是填充积分区域，考虑到计算量，dx选为0.01。

图4 积分按钮的点击事件处理程序

下面进行测试，首先求的是区间[0.5,2]内的积分值，结果如图5所示。测试结果显示，当dx=0.00001时，积分收敛到50.94593。

图5 求[0.5, 2]区间内的积分值

然后将全局变量积分区间改为(-1,0.5)，将填充颜色改为橙色，再次进行测试，结果如图6所示，积分结果为负值，当dx=0.00001时，积分收敛到-34.6736。

图6 求[-1,0.5]区间内的积分值

以上是用程序方法求得的积分近似值，下面用数学方法来求积分的精确值。

首先介绍一下积分的表达形式，设函数y=x³，如果求该函数在[a,b]区间内的积分S，那么S被表示为

这个表达是体现了积分的定义，x³表示函数值，dx表示自变量x的微分，两者的乘积就是微面积s，积分符号∫可以理解为求和运算，将区间[a,b]内的所有微面积求和，就得到了函数在该区间内的积分值。

那么这个表达式是如何运算的呢？接下来要明确一点，积分是求导的逆运算，举例来说，y=x⁴的导数函数为y’=4x³，那么反过来y=x³的积分函数则是

其中的C为常量。式⑴的计算结果最终可以表示为

具体来说，如果求y=x3在[0,1]区间内的积分，那么

这就是数学上求积分的方法。下面我们来求6次幂函数在[-1,0.5]及[0.5,2]区间内的积分值，函数表达式（见《数与图(15)》）为

它的积分函数为

下面编写程序计算积分函数的值。创建一个有返回值的过程——积分函数，代码如图7所示。

图7 有返回值过程——积分函数

下面用单步执行的方法测试计算结果，如图8所示。

图8 用数学方法求得的积分值

比较图8与图5、图6中的数值，发现结果完全相同。

文章写到这里，我忍不住对自己的发现表示赞叹。从上大学开始学习微积分，就一直对积分的计算结果表示怀疑，36年过去了，今天终于依靠程序的力量解除了这个迷惑，一块石头落了地。感谢计算机，感谢程序语言！

接下来还要简单地介绍一下积分的应用。

从积分的计算方法中可以窥见积分的意义，它表示某个量的累积效果。

2010年前后，我曾经想开发一款关于葡萄酒的游戏，于是阅读了很多关于葡萄种植的图书资料，其中讲到了一个“积温”的概念，它是某段时间内日平均气温的总合。这里所谓的“某段时间”要求是连续的日平均气温≥10℃的一段时间。有些晚熟型葡萄品种，如酿造干红常用的赤霞珠，需要积温在3300-3700之间，如果积温不足，则葡萄的糖分低，酿出的酒的度数就无法达到要求。

说到累计效果，我还曾经告诫某位晚辈：要让你生命的每一分、每一秒都有意义，这样才能累计出精彩的人生。