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在第三章我们学习了不定积分的相关知识。而在本章我们讨论积分学的另一个基本问题----定积分问题。我们先从几何与力学问题出发引进定积分的定义，然后它的性质与计算方法。 一.定积分问题举例 1.曲边梯形的面积 设y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续。由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的图形(图一)称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。
图一 我们知道，矩形的高是不变的，它的面积可按公式：矩形面积=高x低 来定义和计算。而曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上是变动，故它的面积不能直接按上述公式来定义和计算。然而，由于曲边梯形的高f(x)在区间[a,b]上是连续变化的，在很小一段区间上它的变化很小，近似于不变。因此把区间[a,b]划分为许多小区间，在每个小区间上用其中某一点处的高来近似代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变高，那么，每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形。我们就以所有这些窄矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值，并把区间[a,b]无限细分下去，即使每个小区间的长度都趋于零，这时所有窄矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积。这个定义同时也给出了计算曲边梯形面积的方法。
2.变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度v=v(x)是时间间隔[T1,T2]上t的连续函数，且v(t)≥0，计算在这段时间内物体所经过的路程s。我们知道，对于等速直线运动，有公式 路程=速度x时间 但是，在现在讨论的问题中，速度不是常量而是随时间变化的变量，因此，所求路程s不能直接按等速直线运动的路程公式来计算。然而，物体运动的速度函数v=v(t)是连续变化的，在很短一段时间内，速度的变化很小，近似于等速。因此，如果把时间间隔分小，在小段时间内，以等速运动代替变速运动，那么，就可算出部分路程的近似值；再求和，得到整个路程的近似值；最后，通过对时间间隔无限细分的极限过程，这时所有部分路程的近似值之和的极限，就是所求变速直线运动的路程的精确值。
二.定积分的定义 从上面两个列子就可以看到：所要计算的量，即曲边梯形的面积A及变速直线运动的路程s的实际意义虽然不同，前者是几何量，后者是物理量，但是它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间。如： 曲边梯形的高度y=f(x)及其底边上的点x的变化区间[a,b]; 直线运动的速度v=v(t)及时间t的变化区间[T1,T2]. 其次，计算这些量的方法与步骤都是相同的，并且它们都归结为具有相同机构的一种特定和的极限
抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，我们就可以抽象出下述定积分的定义
2.定积分的几何意义 设f(x)在[a,b]上连续，上限b,下限a∫f(x)dx在几何上表示介于x轴，曲线y=f(x)及直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和，在x轴上方取正号，在x轴下方取负号。若x为时间变量，f(x)为作直线运动的物体的速度函数，则上限b,下限a∫f(x)dx就是物体从时刻a到b所走过的路程。 3.函数的可积性 可积的必要条件：若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界。 可积的充分条件：(1)f(x)在[a,b]上连续；(2)f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点；(3)f(x)在[a,b]上单调。以上函数类在[a,b]上可积 三.定积分的基本性质
列题1：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且1/(b-a)∫f(x)dx(上限b,下限a)=f(b)，求证：在(a,b)内至少存在一点u,使得f'(u)=0. 证明：因为f(x)在[a,b]上连续，由积分中值定理可知，在(a,b)内至少存在一点c,使得 f(c)=1/(b-a)∫f(x)dx(上限b,下限a) 这就说明f(c)=f(b),而根据假设：f(x)在[c,b]上连续，在(c,b)内可导，故由罗尔定理，在(c,b)内至少存在一点u,使得f'(u)=0，其中u∈(c,b)⊂(a,b) 以上为本章所讲的定积分的概念及基本性质，定积分是在大学高数中考察的重点，不定积分为定积分打基础用的，可想而知，定积分在积分学中占的比重。所以有效的掌握定积分的基本性质及理解基本概念为接下来的几章做铺垫。收藏分享下，让更多的人体验定积分的乐趣。 |
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