【课程】西南科大网教学院_数学分析23_1 定积分的概念

第七章 定积分

 

    在前一章，我们为了解决求导或微分的逆运算研究了不定积分；不定积分是积分学的基本内容之一，积分学的另一个基本内容就是我们在本章要研究的定积分；在本章中，我们先从几何与力学问题出发引入定积分的概念，然后讨论它的性质与计算方法．

1  定积分的概念

一、 定积分的概念

    定义  设函数在闭区间有定义，在内任意插入个分点，即

把区间分成n个小区间，在每个小区间上取一点，记

当分点无限增加，且所有小区间长度中的最大值（也称为分割的模或细度）趋于零时，不论上分法以及 取法如何，若有确定的极限值，则称上是可积的；称I为函数上的定积分，记作：

其中，函数称为被积函数；称为被积表达式；变量称为积分变量；分别称为积分的上限与下限；区间称为积分区间．

    定理7.1.1  若在闭区间上连续，则在上可积．

    定理7.1.2  若在闭区间上有界；且仅有有限多个间断点，则在上可积．

二、 定积分的几何意义

　　(1)  若，如图7-1-2．

    由定积分的定义：

                                     (*)

其中

    因表示图7-1-2中阴影小矩形面积，故（*）式右边是,

以及轴所围曲边梯形的面积．

　　(2)  若，(*)式中每个，故

    因表示图7-1-3中曲边梯形的面积，所以是，以及轴所围曲边梯形面积的负值．

现在我们规定图形的面积可取正、负，并且曲线在轴上方，即时，面

积为正；曲线在轴下方，即时，面积为负（如图7-1-4），则定积分的几何意义是：

表示以及轴所围图形正、负面积的代数和．