定积分和微积分基本定理 【考纲要求】 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念及其基本定理。 2.正确计算定积分,利用定积分求面积。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、定积分的概念 定积分的定义:如果函数在区间上连续,用分点将区间等分成个小区间,在每个小区间上任取一点,作和式,当时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分.记作,即=,这里,与分别叫做积分下限与积分上限,区间叫做积分区间,函数叫做被积函数,叫做积分变量,叫做被积式. 要点诠释: (1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零; (2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限. 要点二、定积分的性质 (1)(为常数), (2), (3)(其中), (4)利用函数的奇偶性求积分: 若函数在区间上是奇函数,则; 若函数在区间上是偶函数,则. 要点三、微积分基本定理 如果,且在上连续,则,其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数,其中c为常数. 一般地,原函数在上的改变量简记作.因此,微积分基本定理可以写成形式:. 要点诠释: 求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算. 要点四、定积分的几何意义 设函数在区间上连续. 在上,当时,定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积;如图(1)所示. 在上,当时,由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方,定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值; 在上,当既取正值又取负值时,定积分的几何意义是曲线,两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 在轴上方的面积积分时取正号,在轴下方的面积积分时,取负号.如图(2)所示. 要点五、应用 (一)应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图,由三条直线,,轴(即直线)及一条曲线 ()围成的曲边梯形的面积:; 2. 如图,由三条直线,,轴(即直线)及一条曲线 ()围成的曲边梯形的面积:; 3. 如图,由曲线及直线,围成图形的面积公式为:. 4.利用定积分求平面图形面积的步骤: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像; (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; (3)写出定积分表达式; (4)求出平面图形的面积. (二)利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程,等于其速度函数在时间区间上的定积分,即. ②变力作功 物体在变力的作用下做直线运动,并且物体沿着与相同的方向从移动到,那么变力所作的功. 【典型例题】 类型一:运用微积分定理求定积分 例1. 运用微积分定理求定积分 (1); (2); (3). 【解析】(1)∵, ∴; (2)∵, ∴. (3)∵, ∴; 【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理,其关键是找出使得的原函数。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求,即利用求导函数与求原函数互为逆运算。 举一反三: 【变式】计算下列定积分的值: (1), (2) 【解析】(1) (2) 【高清课堂:定积分和微积分基本定理394577 典型例题四】 例2.求 【解析】 【总结升华】化简被积函数是积分的前提,直到最简为止. 举一反三: 【变式】计算下列定积分的值. (1); (2); (3); 【解析】(1), (2). (3). 例3.求定积分 ,求函数在区间上的积分; 【解析】
. 【总结升华】当被积式为分段函数时,应分段积分。 举一反三: 【变式】求定积分:; 【解析】=+ = + = = 类型二:利用定积分的几何定义 例4. 求定积分:; 【解析】设,则表示个圆, 由定积分的概念可知,所求积分就是圆的面积, 所以 举一反三: 【变式】求定积分: 【解析】设,则表示如图的曲边形, 其面积, 故. 类型三:利用定积分求平面图形面积 例5.求直线与抛物线所围成的图形面积. 【解析】如图,由得,交点,, 所求面积: . 【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想,是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是: (1)画出图形,并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形; (2)找出相关曲线的交点坐标,即解方程组,确定每个曲边梯形的积分区间(即积分上下限); (3)确定被积函数,即解决“积什么”的问题,是解题的关键; (4)写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式; (5)计算各个定积分,求出所求的面积. 举一反三: 【高清课堂:定积分和微积分基本定理394577 典型例题一】 【变式1】由直线,,曲线及轴所围图形的面积为( ). A. B. C.D. 【解析】 【答案】D 【变式2】在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为. 试求:切点A的坐标以及切线方程. 【解析】设点,则切线,即,则 由,得点, ∴, ∴,即,解得. ∴切点,切线. 类型四:利用定积分解决物力问题 例6. 汽车以每小时32公里的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以匀减速度米/秒2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离? 【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间, 当时,汽车速度公里/小时=米/ 秒8.88米/秒. 刹车后汽车减速行驶,其速度为. 当汽车停车时,速度, 故从到用的时间秒. 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 =米. 即在刹车后,汽车需走过21.90 米才能停住. 【总结升华】解决实际应用问题,解题的关键是弄清事物变化发展的规律,再根据规律变化找到相应的函数式. 举一反三: 【变式1】一物体在力的作用下,沿着与相同的方向,从处运动到处,求力所做的功。 【解析】. 【变式2】 一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度(单位:)紧急刹车至停止。求: (1)从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间; (2)紧急刹车后火车运行的路程。 【解析】(1)由解得,因此,火车经过后完全停止; (2)=。 巩固练习: 1.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( ) A.B.C.D. 2.已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为( ) A.B.C.D. 3.与的大小关系是( ) A. B. C. D.无法确定 4.下列结论中错误的是( ) A. B. C.=+(其中 D.= 5.下列定积分值为0的有( ) A. B. C. D. 6.已知为偶函数且,则( ) A.0 B.4 C.8 D.16 7.定积分( ) A. B. C. D. 8.曲线与坐标轴围成的面积( ) A.4 C. D.3 9.一辆汽车以速度的速度行驶,这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为( ) A. B.1 C.3 D.27 10.已知自由落体运动的速度,则落体运动从到所走的路程为( ) A. C. D. 11.; 12.= ; 13.设,则= ; 14.求. 15.求曲线与轴所围成的图形的面积. 16.求由两条曲线及直线所围成图形的面积. 【参考答案与解析】 1.C 【解析】,故, 2.B 【解析】根据图像可得: ,再由定积分的几何意义, 可求得面积为 3.A 【解析】, 4.D 5.D 【解析】设 则 ∵在区间上是奇函数, ∴ 6. D 【解析】为偶函数,则 7. D 【解析】中的被积函数恰是一个位于x轴上方的半圆, 其面积为,故,又 ∴ 8.D 9.D 【解析】这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为: 10.C 11. 【解析】; 12. 【解析】原式= 13. 14.【解析】= = 又, ∴原式= = . 即=. 15.【解析】首先求出函数的零点:,,. 又易判断出在内,图形在轴下方,在内,图形在轴上方, 所以所求面积为 16.【解析】如图所示, 解方程组容易得到. 由对称性,所求图形的面积为轴右侧图形面积的2倍,则图形的面积为: =. 若选为积分变量,则所求面积为: . 来源:学科网 |
|
来自: CYC2008 > 《中高考/教育资料》