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浙江省常山县第一中学 熊星飞 圆锥曲线的两根不对称问题是近年来平面解析几何中的重点和难点问题，学生在解题时普遍感到难以入手.笔者研究发现,可以通过交换两点的位置,快速化不对称问题为对称问题(即对称交换法).本文通过一道试题举例说明对称变换法的使用，供读者参考. 试题 如图1，已知椭圆 解 设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的方程为y=kx+1.与椭圆方程联立并消去y,得(3+4k2)x2+8kx-8=0,于是 由
用yi=kxi+1(i=1,2)代入,化简得 kx1x2+(2k+2)x1+(4k-1)x2+6=0.② 由 (2k+3)x1+4kx2+6=0.③ 显然,①②③ 都不是关于x1,x2对称的轮换式,不能用韦达理理直接代入化简求解. 对于此类问题,一般来说,可以考虑从以下几种角度出发求解. 解法1 方程组法 考虑三元方程组 先由③④两式消去变量x2，可得 经检验， 评注 这种方法具有一般性,由于计算量较大,耗费时间,在解题中一般不会使用. 解法2 平方化简法 把①式两边平方,得
由点M，N在椭圆上,得 于是 经检验， 评注 这种解法利用平方法使非对称式转化为关于x1,x2的对称式,方便了用韦达定理代入求解.但由于平方变形,使得不符合要求的等式k1=-2k2也混入了方程的解中,由此产生的增根,需要进一步验根. 解法3 垂径定理法 由于A,B是椭圆上关于中心对称的两点,且N是椭圆上的点,故 经检验，当 评注 此法根据椭圆的垂径定理及条件k1=2k2,快速得到关于x1,x2对称式,但由于化简过程的不等价会产生增根. 解法4 对称交换法 (2k+3)x2+4kx1+6=0.⑦ 将③与⑦相加或相乘，均可得到关于x1,x2对称式,求得 也可以把③与⑦相减，得(-2k+3)(x1-x2)=0，由x1≠x2，得 评注 这种方法由原来的不对称,交换x1与x2后,把得到的两式通过加法或乘法等运算使得其成为对称式,可快速求解.甚至还可以把③⑦两式相减绕过韦达定理直接求解.这种对称交换两根的方法是这种两根不对称问题通性解法,简单易求. 反思 该题已知条件kAM=2kBN中没有明确点M与N的相对位置关系,说明M与N两点的地位相同,因此其坐标可以相互交换,因此kAN=2kBM也成立.即这种圆锥曲线中表面上的不对称性,其实质还是一种隐蔽的对称性问题. 解法5 极点极线法 如图2，由于四边形AMBN四个顶点A,B,M,N均在椭圆上,且对角线AB与MN相交于点 设P(-4k,t)，则由
评注 此法与前面的解析法不同,属于高观点求解，直接应用圆锥曲线极点极线的特性得到关于k的方程,且没有产生增根. 《普通高中新课程标准》要求高中数学课程要培养学生的核心素养,要求教师把握数学本质,启发思考,改进教学.通过高中数学课程的学习,树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神,不断提高实践能力,提升创新意识.本文通过几种解法的比较,虽然解题方法各异,但都体现了数学的核心思想方法——方程的思想.通过不同途径得到关于斜率k的方程.方法3是借用了椭圆的“垂径定理”,使原本具有对称性的kAM与kAN,转化为看似不具对称性的kAM与kBN,给这道题蒙上了一层神秘的面纱,也许这就是命题的本意.方法4是圆锥曲线中两根对称问题(隐蔽性对称问题),交换两点坐标，通过加法或乘法运算转化为对称式,揭开了这种不对称性的问题的面纱.方法5简单快捷,最终还是借助于椭圆极线的对称性化解了不对称.正所谓“看山是山,看水是水;看山不是山,看水不是水;最终看山还是山,看水还是水”.  |
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的左、右顶点分别为A,B,过点C(0,1)的直线l与椭圆E交于M,N两点,记直线AM的斜率为k1,直线BN的斜率为k2,若k1=2k2,求直线l的斜率k的值.
且k1=2k2,得
①
可知kx1x2=x1+x2.代入②式,化简得
所以
或
代入④式，可得
