例谈解析几何中的非对称问题

邹生书数学 2022-02-07 00:00

以下文章来源于高中数学解题教研 ，作者李文东

例谈解析几何中的非对称问题

李文东

(广东省中山市中山纪念中学 528454)

摘 要：文章探讨了解析几何中的非对称结构问题的处理策略，所谓非对称结构，是指结构中的x1,x2的系数或次数不一致，无法直接运用韦达定理求解.

关键词：非对称；齐次化；定点定值

解析几何问题主要考查学生的转化与化归思想、推理论证能力、运算求解能力，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，其中尤其对于运算求解能力要求较高，因此怎样计算以及怎样优化解析几何的运算是一个很重要的问题，下面我们谈谈解析几何中非对称问题的处理策略.

(2019年广东省一模理科数学第20题)已知点

都在椭圆

上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(0,1)的直线l与椭圆C交于不同两点P,Q(异于顶点)，记椭圆与y轴的两个交点分别为A1,A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上.

解 (1)椭圆C的方程为

(2)由题意可设直线l的方程为y=kx+1，P(x1,y1),Q(x2,y2)，由

消去y得(2+k2)x2+2kx-3=0，且

由题意不妨设A1(0,2),A2(0,-2)，则直线A1P的方程为

故

联立

结合目标，消去x得：(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2)，此表达式中左右结构不对称，想要直接运用韦达定理比较困难.对此问题，我们有以下求解策略：

一、利用韦达定理进行齐次化

进一步将(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2)整理得：(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2，结合韦达定理知2kx1x2=3(x1+x2)，代入前式可得：(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2=6(x1+x2)+6x1-2x2=4(3x1+x2)，依题意：3x1+x2≠0，否则此时A1P∥A2Q，故得y=4，即点S恒在直线y=4上.

评注 本题的目标很明确，就是要证明交点S的纵坐标为定值，因此首先联立直线A1P和A2Q的方程，消去x，得到(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2，但是此式中的x1,x2不对称，无法直接运用韦达定理.这里的想法是利用韦达定理得到2kx1x2=3(x1+x2)，其本质是将二次表达式x1x2化为一次表达式x1+x2，从而实现齐次化的目的.

二、利用韦达定理进行消元

接法一有：(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2，由于

故

将

代入可得

故得y=4，即点S恒在直线y=4上.

评注 这里的想法是先将已有的

代入，然后再利用两根之和

进行化简，其本质是消元，这也是我们计算化简的基本原则！

三、利用椭圆方程实现对称化

将(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2)整理得：

因为

故

于是

从而y=4，即点S恒在直线y=4上.

评注 考虑到式中

变量不对称，无法直接运用韦达定理，因为利用曲线进行代换得到

化为对称

实现可以运用韦达理的目的，这是一个很重要的技巧，它在很多考题中都有出现，值得我们关注！

下面我们给出这类问题的几个变式题.

变式1 已知椭圆

的离心率为

过点P(0,1)的动直线l与椭圆交于A、B两点，当l∥x轴时，

(1)求椭圆的方程；

(2)当|AP|=2|PB|，如图1，求直线l的方程.

图1

解

由题意可设直线l的方程为y=kx+1，A(x1,y1),B(x2,y2)，由

消去y得(3+4k2)x2+8kx-8=0，且

为定值.

有x1=-2x2.首先将它与

联立可得

代入

解得

直线l的方程为

评注 一般若x1=λx2，这也是一个非对称问题，我们可以采取如下策略：(1)将x1=λx2与韦达定理中的x1+x2联立求出x1，x2，然后代入x1x2求解；(2)构造韦达定理的表达式

变式2 设A,B是椭圆

的左右顶点，过点

为定值.

解 设C(x1,y1),D(x2,y2)，直线CD的方程为：

因为

所以

故

于是

联立

消去y得：(36k2+4)x2-108k2x+81k2-36=0，于是

故

点评 一般地，设A,B是椭圆

的左右顶点，过点M(t,0)(-a<t<a)作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于C,D两点，则

参考文献：

[1]刘紫阳.解析几何中的非对称问题的处理策略[J].中学生理科应试,2019(11):16-18..