椭圆离心率取值范围解题策略

pingjunshu 2021-07-12

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离心率是高中“圆锥曲线”的一个重要几何性质，是三种圆锥曲线统一定义的桥梁和纽带，是研究圆锥曲线其他性质的基础，它是一个比值 width=20,height=26,dpi=110 椭圆的离心率是刻画椭圆“扁圆”程度的基本量之一.在我们的教材中直接给出了离心率的定义，并没有明确解释为什么把 width=17,height=26,dpi=110 这个比值作为椭圆的离心率.如果教师在教学中只是告诉学生这是“人为规定”，学生没有经历概念的产生和发展过程，就很难理解概念的本质，因此在运用概念解题时无从下手.本节课就是希望通过数学文化背景深入认识椭圆的离心率，从而更好地解决和椭圆离心率有关的问题.

一、离心率定义的内涵

在教材中焦距与长轴长的比值 width=17,height=26,dpi=110 定义为椭圆的离心率.在教学中，许多学生会有这样的疑问： width=46,height=31,dpi=110 也可以刻画椭圆的扁圆程度，为什么不用它们定义椭圆的离心率？”其实作为椭圆的离心率更有优势，我们知道椭圆是平面上到两个定点F1，F2距离的和为常数2a的动点的轨迹(其中|F1F2|=2c，且2a>2c)，此定义中涉及的参数是a和c，为了和椭圆的定义保持一致，所以用 width=17,height=26,dpi=110 表示椭圆的离心率；另外，椭圆的第二定义是“到定点的距离与到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹”，而这个常数恰好是 width=23,height=26,dpi=110 即椭圆的离心率.

其实说椭圆的离心率是“人为规定”也未尝不可，因为在天文学中把天体运行轨道的离心率也叫作偏心率，描述的是某一天体椭圆轨道与理想圆形的偏离程度.天文学家发现太阳系中，行星是围绕着以太阳为焦点的椭圆形轨道运行的，所以行星和太阳之间的距离不是恒定的，其中离太阳最近的距离为a-c，离太阳最远的距离为a+c，也就是说偏心率就是衡量行星偏离太阳的程度，所以用 width=17,height=26,dpi=110 表示椭圆的偏心率更符合客观实际.

二、椭圆离心率取值范围的几种求法

求椭圆离心率的取值范围是高考经常考查的热点问题之一，这类题涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强、方法灵活，解题关键是构造关于a，c或e的不等式，下面用几个实例通过构造不等式求椭圆离心率的取值范围.

1.利用椭圆的范围构造不等式

例1 设椭圆 width=158,height=32,dpi=110 的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=90°，求椭圆离心率e的取值范围.

解：设点P的坐标为(x，y)，点F1的坐标为(-c，0)，点F2的坐标为(c，0)，则有 width=225,height=20,dpi=110 因为∠F1PF2=90°，得 width=76,height=20,dpi=110 则 width=93,height=20,dpi=110 即(x+c)(x-c)+y2=0，整理得x2+y2=c2，将其与椭圆方程联立，消去y，可得 width=108,height=32,dpi=110 由椭圆上点的坐标的范围可知，0≤x2<a2，解得c2≥b2，即 width=178,height=32,dpi=110 所以 width=88,height=38,dpi=110

2.利用二次方程判别式构造不等式

以上题为例.

解：由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a，所以有 width=117,height=17,dpi=110 +2|PF1|·|PF2|=4a2，又因为∠F1PF2=90°，所以 width=187,height=17,dpi=110 =4c2，由此可得|PF1|·|PF2|=2(a2-c2)，所以|PF1|，|PF2|可以看作二次方程x2-2ax+2(a2-c2)=0的两实根.

所以Δ=4a2-8(a2-c2)≥0，整理得 width=90,height=32,dpi=110 所以 width=88,height=38,dpi=110

3.利用焦半径的取值范围构造不等式

例2 已知椭圆 width=158,height=32,dpi=110 的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在一点P，使得线段PF1的中垂线经过焦点F2，则椭圆离心率e的取值范围是______.

width=131,height=119,dpi=110

图1

解：如图1，因为线段PF1的中垂线经过焦点F2，所以|PF2|=|F1F2|=2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|=2c.

所以|PF2|=2c≥a-c，所以a≤3c，所以 width=61,height=31,dpi=110 即 width=79,height=31,dpi=110

4.利用均值不等式构造不等式

例3 设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M都满足∠F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是( ).

width=305,height=37,dpi=110

解：因为 width=451,height=35,dpi=110 又因为∠F1MF2为锐角，所以 width=204,height=35,dpi=110 又因为 width=126,height=17,dpi=110 -4c2=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|-4c2>0，所以|MF1||MF2|<2a2-2c2，由均值不等式得 width=287,height=32,dpi=110 所以a2<2a2-2c2，解得 width=64,height=35,dpi=110 所以 width=81,height=35,dpi=110

width=132,height=100,dpi=110

图2

5.利用椭圆中重要结论构造不等式

以上题为例.

解：如图2，当M移动到椭圆的短轴的端点B时，∠F1MF2最大.

由已知可知，∠F1BF2为锐角，即∠F1BO<45°，在Rt△F1BO中， width=152,height=35,dpi=110 所以 width=81,height=35,dpi=110

6.利用题设中的已知条件构造不等式

例4 已知椭圆 width=173,height=32,dpi=110 的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：5x-12y=0交椭圆于A，B两点，若|AF|+|BF|=6，点M到直线l的距离不小于 width=23,height=32,dpi=110 则该椭圆E的离心率的取值范围是( ).

width=132,height=108,dpi=110

图3

width=149,height=38,dpi=110

width=152,height=38,dpi=110

解：如图3所示，设F1为椭圆的左焦点，连接AF1，BF1，则四边形AFBF1为平行四边形，所以6=|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a，所以a=3.取M(0，b)，因为点M到直线l的距离不小于 width=23,height=32,dpi=110 所以 width=114,height=41,dpi=110 解得b≥1，所以 width=173,height=41,dpi=110 又因为0<e<1，所以椭圆E的离心率的取值范围是 width=67,height=38,dpi=110 故选A.

在新一轮课改的实施过程中，作为数学教师，需要在平时的教学中，适时地引导学生探究出问题的本源，只有这样深入才能使学生更容易掌握解决问题的方法.而椭圆离心率取值范围的解法灵活多样，综合性强，需要我们认真分析题意，探究问题本源，才能找到最佳突破口，从而准确、快速地解决问题.

参考文献：

[1]王侠.椭圆离心率的深入认知及基本求法[J].中小学数学，2013(4).

[2]黄贻淦.如何建立不等式求离心率的范围[J].数理化解题研究，2012(2).

[3]林风，林善柱.数学概念教学要重视其生成过程——“椭圆离心率及其应用”的教学思考[J].中学数学教学参考(上)，2017(12).

*基金项目：本文系2018年度甘肃省教育科学“十三五”规划重点课题“基于核心素养下的数学史融入高中数学教学的实践”(课题编号：GS[2018]GHB3863)的阶段性成果之一.