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学习之根，教材； 题目之根，题根。 -----“数学帝”葛军 引子 我在《小学数学自学“开袋即食”锦囊》一文中，重点推荐了一本计算册--《三招过关》， 文中写的一个推荐理由是： 题目设计运用了变式训练理念，同一个运算题型不是机械重复，而是不断变化角度，难度和方式进行运算规则的考察，而且精选了很多包含运算盲点和易错点的题目，比如包含0的除法，16×5 和15×6，80÷5和90÷6等; 我的自主学习交流群（吴群）用这本口算本的小学家长极多，美誉度也极高。 那么问题来了，群里很多初中家长就问了：老吴老师，那有没有蕴含变式训练设计理念的初中教辅？ 针对这个问题，我在回答众亲“一个好消息，一个不好的消息，一个特好消息”之前，先简单介绍一下变式训练这个概念。 变式训练 国内外的许多数学教育研究家认为，中国数学教育的重要特色之一就在于数学问题的“变式”处理。 顾泠沅教授是数学变式教学的倡导者。 从1977年开始上海市青浦县“顾泠沅小组'进行的实践经验，是变式训练理论最早最系统的规模实验支撑； 近年来，香港大学和香港中文大学就有好几篇博士论文研究数学变式训练的作用。 张奠宙先生总结的中国数学教育具有6个特征: 教学导入，尝试教学，师班互动 变式练习，提炼数学思想方法，以及正在发展为“四基'的双基教学。 变式练习就是其中之一。 变式训练就是通过将原命题中的条件、结论、形式、内容、图形等作适当变换，也就是通过一个问题的变式，解决一类问题的变化， 逐步养成学生深入反思数学问题的习惯， 善于抓住数学问题的本质和规律， 探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系，进而培养学生创新思维能力。 变式训练现在已经是我们中学数学教学中的一种重要的教学策略； 在提高学生的学习兴趣、培养学生的数学思维和数学解题能力方面有着不可忽视的作用。 通过变式训练可以使教学内容变得更加丰富多彩，使学生的思路更加宽广。 这种方法在我国数学教学中的应用由来已久，在教学中往往被广大教师自觉或不自觉地运用。 百闻不如一见，必须举个栗子： 如图 1, AB∥CD, 点 P 是直线 AB 和 CD 所在 平面内一点, 试讨论∠ABP、∠BPD、∠PDC 之间的关系: 为了使学生能更进一步对图形及相关知识做到灵活使用、触类旁通, 变式训练 (“变变图形”) 将大显身手。 例: 如果将点 P 移动到如下三种不同位置 ( 图 2- 图 4) , 同样讨论∠ABP、∠BPD、∠PDC 之间的关系。 在学生切实掌握了上述图形问题的讨论后, 再作如下变式: 如图 5, AB∥CD, 点 P、Q、T 是直线 AB 和 CD 所在平面内一点, 试讨论∠ABP、∠BPQ、∠QTD、∠TDC 之间的关系。 本组习题通过把图形中的某些点移动, 培养学生运动本组习题通过把图形中的某些点移动, 培养学生运动哲学观点, 把图形由静态变为动态, 创设了在运动中探索规律的情景, 对培养学生创新意识能起一定的作用。 综上所述, 变式训练能把较多的知识 ( 特别是相近的、同类的) 串在一起, 使学生通过较少的习题, 获得较大的收获,。 不仅达到减轻学生负担、摆脱题海战术、切实提高教学质量的目的, 还通过题目的拓宽、加深、
变化, 培养学生的创新意识和创新能力。 这种教学策略能紧扣教材, 通过适当变形, 使学生更清楚地了解命题的来龙去脉, 在探索命题演变的过程中，能极大丰富学生的发散性思维, 是值得初中数学教师重视的重要教学策略。 变式训练从教育理论和数学思想的角度，可以总结归为两点： 正向看：从原题到变式逐步演变，是”最近发展区“、”脚手架理论“在教学实践中的高效落地； 逆向看：从变式到原题的逐步简化，是化归转化思想在解题实践中的生动体现。 题根 把变式训练的教学策略，进一步深化细化具体化到教学中，输出的教学形态就是”题根“概念。 “数学帝”葛军讲过：中高考出题是根据什么出，肯定是根据指定的教材来出，而不是根据某家出版社的教辅材料来出。 中高考的题目，几乎百分之百都可以在课本中找到原型，当然经过很多层的综合和深化。 所以数学题目其实都不难，都是由一个极其简单的知识点变形而来，只不过中间加入了一些变化和技巧。 考试题目再千变万化，归根结底、追根溯源都找得到题根（母题）。 数学教育泰斗张奠宙先生也讲过：这些年的教学改革，多半注重认识过程的前半段:创设情境、提出问题、分组探究、汇报归纳，以至有所发现。 这是从感性到理性的认识过程。 但是，众所周知，认识过程还有理性认识的不断加深、并用于实践的后半段过程。 这表现为练习巩固、反思总结、欣赏体察变式应用、以至提炼成数学思想方法。 做好这后半段的教学工作，需要扎实的数学功夫才能应对，而不是花里胡哨的表演所能奏效的。 一本优秀的教辅书，可以在这后半段认识过程中发挥重要作用。题根类型的练习册正是满足这样需求的教辅。 寻找题根，通过变式织成题网。所谓“纲举目张”，题根就是这张网的“纲”。 从“数学题根”的角度看，尽管数学题型千变万化，但是都有其深层的“根”存在着。 数学教师掌握了题根，可以使课堂教学更有效率,更有秩序，看到问题的本质所在，不会为漫无边际的各种练习题、考题所迷惑。 学生掌握了寻找“题根”的策略，就能立足基本，参透变化，理解数学问题的提出、变化和求解的规律，而不会强记硬背，以致被浩渺的题海所淹没。 所以如我标题所说，对师生双方来说，题根研究都是破解题海战术的一把利器。 《题根.初中数学》 华东师范大学出版社出版的《题根·初中数学》就是秉承变式训练、”题根“教学理念的优秀经典教辅。 编写说明 题根·初中数学，是以义务教育数学课程标准为准，对照多个版本教材，认真研究近几年数百套中考试题，寻找题目之间的内在联系，潜心编写而成。 首先根据各板块内容初步理出章节名称，结合考查内容及教学课时数，平衡整合各部分章节数目.成书12章，共44节。 每节的编排大致是:题根，题根分析，解法或证明，变式网络，经典变式，变式训练，变式训练参考答案。 各节题根大多2个，少数有3个，尽量考虑多种解法或证明途径。一个题根演绎变化出3~8个经典变式题目，后配备若干个变式训练题，并附有答案或提示。 书里的每一支“题根”，都会有好几种变式，从而形成“变式网络”，或变“背景”，或变“对象”，或变“规则”，或变“条件”......变式之丰富前所未见，其中具有许多创新的成分。 至于“题根分析” 经典变式”、“变式训练”等栏目，则是为学习者提高解题能力进行了必要的指导和铺垫。 帮助学习者进行练习巩固、反思总结、欣赏体察、变式应用，以至提炼成数学思想方法。 编写团队非常重视每个环节的写作质量。 题根有来历出处，分析侧重基本想法及注意事项，点明题根中的信息元，有奇思妙想也一并给出。 变式网络旨在呈现各种变式的方向和层次，如考查题根的逆命题，对题根中主要关系的变更，条件的强化与减弱，方法的类比和归纳等等。 经典变式与变式网络大致对应，为每个变式列举经典题型，展示变式的方法和策略，有利于读者更好地领悟数学问题的本质，更牢固地掌握数学试题间的运动变化等内在联系。 变式训练题主要从各省、市中考或竞赛真题中选取，确保试题的典型性和权威性。 在使用过程中若注意抓住题根的解题思维入口，则能有效训练思维能力; 若留心题目中所蕴含的数学思想，则可提高抽象概括能力; 若体会题目中渗透的数学方法，则会将数学基础知识的掌握上升几个层次； 规范的解答也不要忽视，常琢磨解题格式与合理表达，多方思考探求题目的不同解法，充分总结与提升解题规律。 学以致用是编者希望看到的，在使用过程中同学们不妨试着变式. 比如:在现有已知条件下，可进一步挖掘的新结论; 考查其逆命题，否命题或逆否命题; 改变条件,看结论如何变化; 数与式的沟通、联想与互助; 从特殊到一般，或从一般到特殊; 题目重组(如由1234四个事项中选择三个事项，推出一个事项)。 另外对题根的拓展演变，不免跨出章节范围.同学们在使用中，遇到新课内容尚未学习的，可以暂时略过，之后循环使用，再作解决。 读者推介摘录 原来一个题可以这么展开！ 你可以说这本书很简单，但是简单题的逻辑不简单，简单题的展开不简单，难题是由简单题衍生出来的，这本书就在讲这个道理。 变式题很多书都在做，也都有，但是看过之后我觉得这本的变式做的是最好的，不仅有递进，还有改编的脑图，太牛了！ 而且考虑到这本书广泛的受众面，所以，没啥说的，第一名！ 希望有一天你可以看到这本书，也希望在你读了半天觉得没有收获的时候不要把它扔在一边，时间越长，感悟越深，真的好书，耐得住考验，强推哦！！！ 老吴高能提示（极其重要） 这本书的学习重点既不在于其中的母题，更不在于其中的变式题目，也不在于其中画好的脑图。 真正的精髓：是孩子通过看书中几个题根的梳理和总结示范，自己能尝试着不看书上已画出变式网络脑图，而是自己直接做书中的变式题，接着自己再去梳理归纳出变式网络脑图，自己学会梳理和归纳是最重要的。 从而提升自己化繁为简、以简驭繁的概括归纳能力和举三反一之后举一反三的迁移应用能力。 更进一步，自己对照教材的经典例题，能按照题根的思路，自己试着去编写水平与垂直两方向的变式题，这样这本书的价值才是完全发挥出来了。 |
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