【原】用数学软件绘制分片光滑的曲面图形和计算两类曲面积分

在曲面积分计算的过程中，为了有效构建其计算表达式，一般希望能够绘制出曲面的图形，并且在计算完成以后，还希望能够马上验证计算思路和结果的正确性。那么，在曲面图形比较复杂的情况下和没有参考解答的情况下，如何绘制曲面的图形和有效完成验证过程呢？

数学软件，用数学软件来实现！尤其是使用以图形、符号计算见长，输入、输出直观，快捷的数学软件Mathematica来实现，这一切变得非常简单！关于数学软件Mathematica的介绍和使用、配套的网页在线计算工具使用方法咱号（微信公众号：考研竞赛数学(ID：xwmath)）都有过视频和专题介绍，如果感兴趣可以通过公众号底部菜单：竞赛实验下的数学实验数学文化导航菜单浏览推文目录。同时，对于极限的计算、积分的计算以及线性代数的计算等的实现，也进行了推送了专题性的推文。

下面主要介绍如何借助数学软件Mathematica快速绘制分片光滑的积分曲面，并计算曲面上的曲面积分。

一、分片曲面光滑曲面图形的定义与绘制

常用的区域定义及操作相关命令：

ImplicitRegion：定义由等式与不等式定理的区域

Region：显示定义的区域图形

RegionUnion：区域的并

RegionIntersection：区域的交

RegionDifference：区域的差

ContourPlot3D：绘制由三元方程确定的曲面图形

具体使用方法可以在Mathematica中输入以上命名后，按以下【F1】，直接查看它们对应的帮助文档信息和使用范例！比如ImplicitRegion对应的帮助信息页面如下.

图1

二、分片光滑的曲面积分区域绘制与计算举例

Mathematica不需要将多元积分，比如重积分、曲线、曲面积分转换为累次积分表达式，可以直接在定义的积分区域上计算重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分；而对于对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分，则可以利用两类曲线积分之间的关系，两类曲面积分之间的关系，将它们转换为对弧长的曲线积分，对面积的曲面积分来完成计算验证.

例1：计算对面积的曲面积分

其中为锥面被柱面所截得的有限部分.

由于柱面方程中包含有参数，故没法绘制其图形，而只能定义其区域来完成积分的计算.  完整输入的Mathematica表达式如下.

图2

上面两行为输入的表达式，下面的两行为输出结果表达式. 在Mathematica中可以直接复制、粘贴如下表达式后，执行得到结果.

A=ImplicitRegion[z==Sqrt[x^2+y^2]&&x^2+y^2<=2a x,{x,y,z}]
Integrate[x y+y z+z x,{x,y,z}\[Element]A]


如果取，则定义、绘制积分区域图形及计算得到的结果如下.

图3

例2：计算如下积分

其中为, , 三个曲面所围成的立体区域， 为立体的表面.

(1) 绘制三个曲面图形

使用ContourPlot3D绘制三个曲面的图形，Mathematica表达式及执行结果如下：

图4

对应的代码文本如下，复制粘贴到Mathematica即可直接执行.

ContourPlot3D[{y^2+z^2==9,x==0,x+y==5},{x,-1,9},{y,-4,4},{z,-4,4}]


(2) 定义积分区域并绘制积分曲面图形

定义实心立体区域及绘制其图形Mathematica表达式及执行效果如下：

图5

对应的代码文本如下，复制粘贴到Mathematica即可直接执行.

\[CapitalOmega]=ImplicitRegion[z^2+y^2<=9&&0<=x<=5-y,{x,y,z}];
Region[\[CapitalOmega]]


定义积分曲面区域及绘制其图形Mathematica表达式及执行效果如下：

图6

对应的代码文本如下，复制粘贴到Mathematica即可直接执行.

\[CapitalSigma]=RegionUnion[
ImplicitRegion[z^2+y^2<=9&&x+y==5,{x,y,z}],ImplicitRegion[z^2+y^2<=9&&x==0,{x,y,z}],ImplicitRegion[z^2+y^2==9&&0<=x<=5-y,{x,y,z}]];
Region[\[CapitalSigma]]


曲面绘制了三个面，最终将它们用RegionUnion合并为了一个分片光滑的曲面.

(3) 计算积分

计算积分的Mathematica表达式及结果如下：

图7

对应的代码文本如下，复制粘贴到Mathematica即可直接执行.

Integrate[x z+z^2,{x,y,z}\[Element]\[CapitalSigma]]
Integrate[x,{x,y,z}\[Element]\[CapitalOmega]]


例3：计算对坐标的曲面积分

其中 是抛物面在面上方的部分的上侧.

由两类曲面积分之间的关系，将对坐标的曲面积分转换为对面积的曲面积分. 由于曲面取上侧，故在其上任一点处的单位法向量为

于是由两类曲面积分之间的关系，得

Mathematica中执行效果如下：

图8

对应的代码文本如下，复制粘贴到Mathematica即可直接执行.

A=ImplicitRegion[z==8-(x^2+y^2)&&z>=0,{x,y,z}];
Region[A]
Integrate[(2x^2+2y^2-z)/Sqrt[1+4x^2+4y^2],{x,y,z}\[Element]A]


【高斯公式法验证】 补充曲面

方向向下，则

记两曲面所围区域为 ，故由高斯公式，得

以上累次积分表达式也可以由如下Mathematica表达式计算：

对应的代码文本如下，复制粘贴到Mathematica即可直接执行.

Integrate[r,{\[Theta],0,2\[Pi]},{r,0,2Sqrt[2]},{z,0,8-r^2}]


关于高等数学、数学分析中积分计算的探讨和实现更详细的介绍可以参见推文：一道积分算一天，你确信积分对了吗？

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