【原】两条曲线的公切线问题

Ø方法导读

在近几年高考导数大题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为高考中的热点题型之一.学生在做题过程中,解决单一曲线的切线问题相对比较熟练,对于单一曲线的切线问题,求解过程中常用的数学思想主要是转化与化归思想,函数与方程思想,数形结合思想,求解方法也较容易理解:

(1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点;

(2)利用导数的几何意义,即曲线在处的导数为切线的斜率;

(3)根据切点既在曲线上又在切线上进行求解.

但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也大得多.具体的求解方法:

设曲线在点处的切线为,整理得到:.

设曲线在点处的切线为,整理得到:.

由于与是相同直线(即与的公切线),

故有且(即斜率相等,纵截距相等),

从而求解出与公切线有关的一些问题.

Ø高考真题

【2020·全国II卷理·20】已知函数.

(1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点;

(2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.

Ø解题策略

【过程分析】

本题第一问首先函数问题定义域优先原则,故得到的定义域为,进而对函数求导得到,因为函数的定义域为,从而判断出,因此函数在和上是单调增函数(注意函数的单调区间不可用“”符号连接,可用“,”或者“和”连接);

然后利用极限法分析当时,,而(此处利用极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都有所涉及),从而根据零点存在性定理判断当,函数有零点,又根据函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点;

当时,,,因为,所以根据零点存在性定理判断函数在必有零点,根据函数在上也是单调递增,故当时,函数有唯一的零点.

于是得到第一问的全部结论,函数在和上是单调增函数并且函数在定义域内有个零点;

第二问要证明两条曲线的公切线问题,就可以用到我们前面提到的方法,首先因为是的一个零点,所以必然满足函数解析式,即(注意一定要合理应用题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直接找到,对于而言,切点已经给出,所以直接求导,从而得到曲线在处的切线的斜率,进而表示出曲线在处的切线的方程为:,然后应用题中所给条件,所以的方程整理后为,它的斜率,在纵轴的截距为.

紧接着我们继续研究曲线,由于曲线的切点不能直接找到,所以我们设曲线的切点为,然后利用导数求出曲线过切点的切线的方程,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的方程为,它的斜率,在纵轴的截距为.

当切线的斜率等于直线的斜率时,即,则,而,所以.

最后由于直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此判断出直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线,本题得证.

【深入探究】

纵观本题的分析过程,主要是攻克以下的几个难点:

(1)第一问中定义域中的“”,以及分析零点时的极限思想的应用;

(2)第二问中由是的一个零点得到;

(3)第二问中分别求解曲线与曲线的切线方程时切点的问题,尤其是求解曲线的切线方程时要设出切点,此处应该是本题求解过程中的“精髓”之处;

(4)结合,再利用斜率和截距都相等,从而得出两直线,重合,进而说明直线是两条曲线的公切线;

综上,只需攻克以上的几个难点本题就会迎刃而解.

Ø解题过程

【解析】(1)函数的定义域为,

,

因为函数的定义域为,所以,

因此函数在和上是单调增函数;

当,时,,而,

显然当,函数有零点,

而函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点;

当时,,,

因为,所以函数在必有一零点,

而函数在上是单调递增,故当时,函数有唯一的零点,

综上所述,函数的定义域内有个零点.

(2)因为是的一个零点,所以,

,所以曲线在处的切线的斜率,

故曲线在处的切线的方程为:,而,

所以的方程为,它在纵轴的截距为.

设曲线的切点为,过切点的切线,

,所以在点处的切线的斜率为,

因此切线的方程为,

当切线的斜率等于直线的斜率时,即,

切线在纵轴的截距为,而,

所以,

直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此直线,重合,

故曲线在处的切线也是曲线的切线.

Ø解题分析

在上述题目第二问的解题过程中,首先我们根据是的一个零点,得到关于的等量关系,其次我们分别求解曲线与曲线的切线方程,最后我们再由切线,重合来说明此直线就是两条曲线的公切线.

此处我们主要是用到了求解两条曲线的公切线问题的常用方法:分别求出两条曲线的切线方程,然后利用直线重合得到该直线即为两条曲线的公切线,此种解题方法通俗易懂,学生上手比较方便,也是我们最常用的解决两条曲线公切线问题的方法.

Ø拓展推广

解决两条曲线的公切线问题的一般策略:

第一步:利用题中所给条件得到相应的等量关系;

第二步:分别求解两条曲线在各自切点处的切线方程,

设曲线在点处的切线为,整理得到:,设曲线在点处的切线为,整理得到:;

第三步:根据公切线定义,得到两切线重合,建立方程组,求解相关问题,

由于与是相同直线(即与的公切线),则和(即斜率相等,纵截距相等),建立方程组,从而求解出与公切线有关的一些问题.

常见两条曲线的公切线问题的题型:

(1)求两条曲线的公切线方程以及证明直线为两曲线的公切线问题;

(2)求与两条曲线的公切线有关的曲线中的参数的取值范围问题;

(3)探究两条曲线是否存在公切线的问题;

(4)求曲线中参数的值问题;

(5)判断公切线条数问题.

变式训练1

 已知曲线 与 ,直线 是 和 的公切线,求公切线 的方程.

变式训练2

 已知函数,.

(1)讨论函数的单调性;

(2)若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围.

变式训练3

 设函数,.

(1)讨论的极值;

(2)若曲线和曲线在点处有相同的切线,且当时,,求的取值范围.

变式训练4

 （2018天津理）已知函数,,其中.

(1)求函数的单调区间;

(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,证明:;

(3)证明:当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.

变式训练5

 已知函数,.

(1)当时,,求实数的取值范围.

(2)当时,曲线和曲线是否存在公共切线?并说明理由

答案

变式训练1

 见解析

设与的切点,与的切点,

曲线在处的导数为,

在曲线上过点的切线方程为,即,

曲线在处的导数为,

在曲线上过点的切线方程为,即,

由题意知直线与重合,

则有,解得或,

所以两曲线和的公切线的方程为或.

变式训练2

 见解析

(1)函数的定义域为,,

所以,

所以当,即时,,在上单调递增;

当,即或时,

当时,,在上单调递增;

当时,令得,

随着变化,,的变化情况如下表:

	增	减	增

综上:当时,在上单调递增;

当时,在和内单调递增,在内单调递减.

(2)设函数在点与函数在点处切线相同,

由,,得到,,

所以函数在点处的切线方程为,即,

函数在点处的切线方程为,即,

由斜率相等得到,所以,

由截距相等得到,

把代入化简得,

设(∵,∴),

则,

不妨设,

当时,,当时,,

所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,

代入可得,

设,则对恒成立,

所以在区间上单调递增,

又,所以当时,即当时,

又当时,,

因此当时,函数必有零点;

即当时,必存在使得成立;

即存在,使得函数在点与函数在点处切线相同,

又由在上单调递增可得的取值范围,

因此,,

所以实数的取值范围是.

变式训练3

 见解析

(1)由题意,则,

①当时,恒成立,所以在上单调递增,无极值.

②当时,由得,

故当时,,单调递减;当时,,单调递增,

所以当时,有极小值,且极小值为,无极大值.

③当时,由得,

故当时,,单调递增;当时,,单调递减,

所以当时,有极大值,且极大值为,无极小值.

综上所述,当时,无极值;

当时,有极小值,无极大值;

当时,有极大值,无极小值.

(2)由题意得,

∵和在点处有相同的切线,

∴,即,解得,

∴,

令,

则,

由题意可得,解得,

由得,,

①当,即时,则,

∴当时,,单调递减;当时,,单调递增,

∴在上的最小值为,∴恒成立.

②当,即时,则,

∴当时,,在上单调递增,

又,∴当时,,即恒成立.

③当,即时,

则有,

从而当时,不可能恒成立.

综上所述的取值范围为.

变式训练4

 (1)函数的单调递减区间为,单调递增区间为;

(2)见解析;

(3)见解析.

本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.

(1)由已知,有,令,解得;

由,可知当变化时,,的变化情况如下表:

所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.

(2)由,可得曲线在点处的切线斜率为,

由,可得曲线在点,处的切线斜率为,

因为这两条切线平行,故有,即,

两边取以为底的对数,得,所以.

(3)曲线在点处的切线,

曲线在点处的切线.

要证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,,使得与重合.

即只需证明当时,方程组有解,

由①得,代入②,得③,

因此,只需证明当时,关于的方程③存在实数解.

设函数.

即要证明当时,函数存在零点,,可知时, ;时,单调递减,

又,,故存在唯一的,且,使得,

即.由此可得在上单调递增,在上单调递减, 在处取得极大值;

因为,故,

所以

,

下面证明存在实数,使得,

由(1)可得,当时,有

,

所以存在实数,使得,

因此,当时,存在,使得;

所以,当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.

变式训练5

 见解析

(1)令,则,若,则,若,则,所以在上是增函数,在上是减函数,所以是的极大值点,也是的最大值点,即,若恒成立,则只需,解得,所以实数的取值范围是.

(2)假设存在这样的直线且直线与曲线和曲线分别切于点,,由,得,曲线在点处的切线方程为

,即,同理可得,曲线在点处的切线方程为,所以,即,构造函数

,存在直线与曲线和曲线均相切,等价于函数在上有零点,对于,当时,,在上单调递增,当时,因为,所以在上是减函数,又,,所以使得,即,且当时,,当时,,综上,在上是增函数,在上是减函数,所以是的极大值,也是最大值,且,又

,,所以在内和内各有一个零点,故假设成立,即曲线和曲线存在公共切线.