【原】第8招：神龙摆尾-移项构造函数证明不等式

第8招：神龙摆尾 - 移项构造函数证明不等式

在证明不等式时,经常需要用到函数的单调性或函数的最值来转化,如何构造恰当的函数是一个棘手的问题。移项构造函数即将不等式一边的式子移到另一边,是我们的常见手段,这是一种简单明了的方法,既适用于不含参的不等式证明,也适用于含参但参变分离比较复杂的问题求解。

例如:要证明,可令,则证明即可。这种方法我们称之为移项法。

1.适用题型

    常用于不含参的不等式证明,或者参变分离比较复杂的恒成立问题;

2.基本思想

    通过移项将不等式的一边归零,构造函数,如果是函数在区间上的最大(小)值,则(),只需判断的正负得证。

3.基本步骤

 ①直接移项构造函数如:,可令;或者在有些情况下,直接移项构造函数可能还是比较复杂,可进行化简变形之后,再进行移项构造。

 ②构造函数之后,通常对函数进行求导,根据导数的正负分析函数单调性,再由单调性求函数的最值,判断最值的符号即可。

(2019北京卷)已知函数.

(1)求曲线的斜率为的切线方程;

(2)当时,证明:;

(3)设,记在区间上的最大值为,当最小时,求的值.

【答案】见解析

【解析】

(1)由得.

令即,得或。

又,,

所以曲线的斜率为的切线方程是与,

即与.

(2)令.(移项构造函数)

由得.

令得或.

的情况如下:

所以的最小值为,最大值为.

故,即.

(3)由(2)知,

当时,;

当时,;

当时,.

综上,当最小时,.

1. (2020届郑州高三明显联考调研考试理)

已知函数,.

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时,证明:.

2.(2021届江西部分学校高三联合考试理)

已知函数,若时,恒成立,求的取值范围.

3.(安徽六校教育研究院2021届高三模拟试题理)已知函数.

(1)求函数的最值;

(2)设函数,证明:当时,函数的图像总在函数的图像的下方.