【原】22数列解法第一招：天造地设-构造法求通项

数列解法第一招：天造地设-构造法求通项

在解决数列已知递推关系求解通项问题时，通常运用加减乘除、去分母、添项去项、取对数、待定系数法等方法，进行命题转换，将递推关系式变形为适当的辅助模型（例如：等比数列模型、等差数列模型等），从而找到新的解决问题的途径的思维方法，通常称为构造法求通项.

构造等差数列:一般地,形如或,可利用取倒数的运算,得,构造是公差为的等差数列.

构造等比数列:一般地,①形如(其中为关于的一次式),可利用待定系数法,得到,构造是公比为的等比数列.特别地,当为常数项时,可构造是公比为的等比数列.

②形如,可利用待定系数法,得到,从而可得为等比数列,进而利用累加法求通项公式或转化成形如的形式继续构造等比数列求解.

③形如,利用两边取常用对数,可得到,从而构造为等比数列.

(2020·全国Ⅲ卷·理17)设数列满足,.

(1)计算,,猜想的通项公式并加以证明;

(2)求数列的前项和.

【答案】(1),,,证明见解析;(2).

【分析】(1)利用递推公式得出,猜想得出的通项公式,利用数学归纳法证明即可;

温馨提示:求此通项公式也可利用构造法,即利用待定系数法,设,转换数列求解.

(2)由错位相减法求解即可.

【解析】(1)由题意可得,,

由数列的前三项可猜想数列是以为首项,2为公差的等差数列,即,

证明如下:

当时,成立;

假设时,成立.

那么时,也成立.

则对任意的,都有成立;

(2)由(1)可知,

 ①

 ②

由①②得:

,

即.

1:(原创)在数列中,,

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前项和.

2:(原创)在数列中,,

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前项和.

3. (原创)在数列中,,,求数列的通项公式;