【原】三角形中的向量问题

三角形中的向量问题

Ø 方法导读

历年的高考命题中“三角形的四心”显得非常重要.平面几何中三角形的四“心”,即三角形的内心、外心、重心、垂心.在引入向量这个工具后,我们可以从动和静两个角度看三角形中的四“心”的向量表示,其一可以使我们对三角形中的四“心”有全新的认识;其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识.

(1)重心:三条中线的交点,重心将中线长度分成.

(2)外心:三边中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.

(3)垂心:三条高线的交点,高线与对应边垂直.

(4)内心:三条内角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

(5)奔驰定理:为内一点,则有:.

下面以2016年四川高考理科数学第10题为例做深入剖析.

Ø高考真题

【·四川卷理·】在平面内,定点满足 ==,===,动点,满足=,,则的最大值是(     )

A.      B.      C.      D.

Ø解题策略

本题若只用向量自身的知识和方法解决,则需用向量法;本题若不用向量法,则可考虑先建立直角坐标系(坐标法),然后用三角法或解析法解决问题.如果从条件和问题的几何意义来思考和处理问题,运用数形结合思想,则可用平面几何知识直接简洁解答.因此,本题的解答可以涉及4大基本方法:向量法,坐标法,三角法,解析法;也必涉及求最值的一些方法.本题考查了数形结合、化归与转化等思想.

Ø解题过程

设(实质上为的外心),

则由===(亦可得为的垂心,外心和内心重合即可确定为等边三角形),

知,且,

于是,点在以为圆心,为半径的圆上,

且,即为等边三角形,如下图所示:

设为中点,则,

,

由三角形不等式得,

∴,当且仅当与同向时等号成立,

即的最大值是,的最大值是,故选B.

Ø解题分析

由知, 为的外心.由==

知为的垂心,所以为正三角形,易知其边长为,取 的中点,因为是的中点,所以 ,所以 ,则.故选B.

Ø拓展推广

1.三角形五心的向量表示

设是在平面上一点,角的对边分别为,则:

(1)为的外心(三角形三边中垂线的交点).

(2)为的重心(三角形三边中线的交点).

若动点满足,,则动点的轨迹一定经过的重心.

(3)为的垂心(三角形三条高线的交点).

若动点满足,,则动点的轨迹一定经过的垂心.

(4)为的内心(三角形内角平分线的交点).

若动点满足,则动点的轨迹一定经过的内心.

(5)为中的旁心.

2.奔驰定理及相关考点

定理:如图,已知为内一点,则.

因为这个定理的图形和奔驰汽车的很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.

  

证法:如图,延长交于,易得,

则,

即,

整理可得.

相关考点:若为内任意一点,有,则(已知向量等式,求面积比之间的关系类题目)

①为重心,;

②为内心,;

③为外心,;

④为垂心,,.

证明:如图为三角形的垂心,,,∴,

∴,

同理得,

∴.

变式训练1

 是所在平面上一定点,动点满足,则点的轨迹一定通过的( )

A 内心

B 垂心

C 重心

D 边上的中点

变式训练2

 是所在平面上一定点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的( )

A 外心

B 内心

C 重心

D 垂心

变式训练3

 已知非零向量与满足且,

则为( )

A 三边均不相等的三角形

B 直角三角形

C 等腰非等边三角形

D 等边三角形

变式训练4

 点在内部满足,则__________.

变式训练5

 已知是的垂心,且,试求的度数

答案

变式训练1

C 重心

(为边的中点)知三点共线(因)

故知点的轨迹为边的中线所在直线,故点一定通过的重心.

变式训练2

A 外心

先取为边的中点,即,

原式可化为,

又因为

.

即可得,知点的轨迹为边的中垂线,故其轨迹必过外心.

变式训练3

D 等边三角形

由:表明的平分线也垂直于(三线合一),知等腰三角形;由:得到:两者结合得到为等边三角形.

变式训练4

 

法1:由奔驰定理易知:,故.

法2:,(取为的中点,为的中点)

易得:三点共线,且,从而得到:.

变式训练5

 见解析

设的外接圆半径为,点是的外心,

∵是的垂心,∴,

∴,,

∴,

∵,

∴,

∵,∴,∴,

而为的内角。∴,从而或,

∴的度数为或.