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毕达哥拉斯说：“数统治着宇宙”。伯克霍夫说：“整数的简单构成，一直是数学获得新生的源泉”。在整个数学中，数论（对数的研究）分支是最“美”的，像一座长满奇异花草的大花园。因此，让我们一起走进这些“神奇的数”。   定义：如果一个自然数等于除它自身以外的各个正因子之和，则这个数叫做完全数。如：6=1+2+3 完全数是被古人视为祥瑞的数，古希腊人在公元2世纪末已发现了四个完全数。在自然数里，目前仅发现7个完全数，它们是：  还有三个完全数是120816、2096128、33550336。可见完全数是非常稀少的。从第四个完全数8128到第七个完全数33550336的发现经过了一千多年，这是因为第七个完全数要比第四个完全数大了4100多倍。这可能是历经了一千多年才艰难跨越出一步的原因。 完全数还有一些鲜为人知的性质，如： (1)所有完全数都可以表达为2的一些连续整数次幂之和，如  (2)除了6之外，其他完全数可表示为连续奇数的三次方之和，如  (3)目前发现的完全数都是偶数，还未发现一个奇完全数。(4)迄今为止，发现的完全数都具有以下的形式：    定义：若自然数M的全部正因子(去掉其本身)之和，恰为自然数N，而N得全部正因子(去掉其本身)之和，恰为自然数M，则称M、N为一对亲和数。如：220的全部正因数(不包括220本身)加起来是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284284的全部正因数(不包括284本身)加起来是：1+2+4+71+142=220. 那么220和284就互为一对亲和数。 在毕达哥斯拉时代，人们只知道这一对亲和数，后来杰出的阿拉伯数学家本·科拉建立一个有名的亲和数公式：   定义：一个整数的平方称为完全平方数，简称平方数。如：1、4、9、16、25、36、49、81、100……等等都是平方数。在整数中除了素数外，最引人注目的就是平方数。平方数在正整数中比素数更加稀疏，且更有规律性。不超过正整数n的平方数(不包括0)的个数是√n的整数部分。 完全平方数还有以下性质，如：(1)前n个奇数的和一定是平方数，  (2)“平方和”宝塔： (3)四个相邻正整数的乘积和1的和一定是完全平方数， 多边形数是这样的数，它的形状与多边形的形状有着密切的关系。 定义：若两个数的平方和等于第三个数的平方，那么就称这三个数为勾股数组。 我国古代数学书《周髀算经》和《九章算术》中就记载了许多组勾股数组，常见的勾股数组分别是(3,4,5)、(5,12,13）、(8,15,17)、(7,24,25)等。 现在大家都知道，勾股数是无穷无尽的，而且许多勾股数都可由下面的公式求得： 勾股数组正好满足直角三角形三边关系，即勾股定理。同时，由勾股数组可以衍生出许多漂亮的“勾股树”： 通过不断地画正方形，就可以形成形象生动的“勾股树”了： |
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