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数论之巅——5个关于素数的“未解之谜”,是人类的知识极限之一

2021-09-26  taotao_20...

数学中研究最多的领域之一是素数的研究。素数领域存在很多非常困难的问题,即使是最伟大的数学家也没有解决。今天,我们来看看数学中关于素数的5个最古老的问题,这些问题理解起来很容易,但却没有得到证实。

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完美数(完全数、完备数):奇数完全数是否存在?偶数 完全数是无限的吗?

看一下6、28、496、8128这些数字.....

这些数字有什么特别之处?我建议你试着寻找一个关于数字的美丽的基本性质。

如果你看一下这些数的真因数,你可能会注意到这个“美丽”的性质。

  • 6 = 1 + 2 + 3,
  • 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,
  • 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
  • 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

真因数之和等于数字本身的数字被称为完全数。最早的关于完全数的研究已经消失在历史潮流中。然而,我们知道毕达哥拉斯人(公元前525年)曾研究过完全数。

我们对这些数字了解多少呢?

欧几里德证明,对于一个给定的n,如果(2^n-1)是一个素数,那么

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是一个完全数。

再做些铺垫。

梅森素数:梅森猜想,当n为素数时,所有形式为2^n-1的数都是素数。

我们知道这不是真的。例如,2^11-1 = 2047 = 23 × 89

开放性问题:是否有无限多的梅森素数?目前我们知道47个梅森素数。

  • 欧拉在18世纪提出,任何偶数完全素数的形式都是2^(n-1)(2^n-1)。换句话说,偶数完全数和梅森素数之间有一个一一对应的关系。

正如你所看到的,自从欧几里德(约公元前300年)以来,我们就知道偶数完全数以及得到它们的方法。我们不知道的是,是否存在任何奇数完全数?(实际上,对奇数完全数的研究很少,在这个问题上几乎没有任何进展。

总而言之,完全数的研究提出了两个长期未决的问题,即 '奇数完全数的存在 '和 '无限多梅森素数的存在'。

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  • 欧几里德(约公元前300年)首次证明了无限多素数的存在。

孪生素数猜想:有无限多的孪生素数

孪生素数是指一对(p, p+2),使得p和p+2都是素数。

孪生素数猜想的确切来源没有得到证实,孪生素数猜想的第一个陈述是由法国数学家Alphonse de Polignac在1846年给出的。然而,希腊数学家欧几里德给出了已知的最古老的证明,即存在无限多的素数,他猜想存在无限多的孪生素数。

2000多年了,这个问题的证明几乎没有进展。

我们对孪生素数掌握了哪些?

  1. 有无限多的(p, p+k)形式的素数对,其中k≤246。
  2. 假设艾略特-哈伯斯塔姆猜想( Elliott-Halberstam conjecture)成立,那么有无限多的形式为(p, p+k)的素数对,其中k≤6。这意味着,孪生素数(差值为2)、表亲素数(差值为4)和性感素数(差值为6)的集合是无限的。

小插曲:为什么把差值为6的一对素数称为性感素数?因为6在拉丁文中的拼写是“sex”,英文的意思是性感。

最伟大的在世数学家陶哲轩正在积极研究这个问题。

哪些正多边形是可构成的?

正多边形是可构成的是指可以用圆规和直尺构成。例如,正五边形可以用圆规和直尺构成,而正七边形则不能。

可构成[的](constructible)是1993年公布的数学名词——百科

古希腊人知道如何构成边数为n=3,4,5的正多边形,他们也知道如何构成边数为给定正多边形两倍的正多边形。

所以他们可以构成正多边形,其中边数为n={6,12,24...4,8,16... 5,10,20...},以此类推。

自然要问的问题是,什么样的n值是可构成的?

从希腊人第一次研究这个问题到1796年一个19岁的少年构成了一个正17边形,这个问题的真正进展花了近2000年。这个孩子不是别人,正是卡尔-弗里德里希-高斯。几年后,高斯想出了这个一般问题的答案。

我们所知道的可构成的正多边形:

高斯研究指出,当且仅当n是2的幂和任何费马素数的乘积时,就可以用圆规和直尺构成一个规则的正多边形。

费马素数的形式是:

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因此,寻找所有可构成的多边形的问题可简化为寻找所有费马素数。这是个独立的开放性问题。

最前面的几个费马数(不是费马素数)是3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297........截至2021年,已知的费马素数只有F0=3、F1=5、F2=17、F3=257和F4=65537。

费马猜想,所有的费马数都是素数。1732年,欧拉发现F5(4294967297)不是素数,它有因数641。从那时起,我们已经证明,n=5,6...31的费马数是合数。在F4之后没有已知的费马素数。

当我们能够找到关于费马素数存在性的答案的那一天,我们就会得到所有可构成的正多边形。

哥德巴赫猜想。(1742)

每个偶数都可以表示为两个素数之和。

哥德巴赫弱猜想:

每个大于5的奇数都可以表示为三个素数之和。

这个猜想被称为 '弱猜想',因为如果强猜想被证明,那么这个猜想也会是真的。不幸的是,自欧拉以来,经过几代数学家的努力,我们也没能证明这两个猜想。

注:2013年,哈拉尔德-赫夫考特( Harald Helfgott )发表了哥德巴赫弱猜想的证明。截至2018年,该证明在数学界被广泛接受,但还没有在同行评议的期刊上发表。

我们所知道的哥德巴赫猜想

  1. 1930年,有人证明,任何大于1的自然数都可以写成不超过C的素数之和,其中C<800000。(哥德巴赫猜想中c=2)
  2. 在过去的十年中,每个偶数n≥4实际上是不超过4个素数(即C≤6)的和。后来,这一结果被加强到C≤4。

有趣的是,哥德巴赫猜想是2007年西班牙电影《费马的房间》中的部分情节。

素数在P中(2004)

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