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没解决这个7次方程问题,为何这三个数学家却很开心

2021-09-29  水斯宁

一次求解希尔伯特第13个问题的“失败”工作,非但没有让芝加哥大学数学教授本森·法布(Benson Farb)感到沮丧,反而让他觉得很高兴

还不止是他,与他合作的另外两位数学家也对此表示:喜闻乐见。

因为求解希尔伯特第13个问题的失败,芝加哥大学数学教授本森·法布(Benson Farb)不但没有感到沮丧,反而很高兴,而且与他合作的另外两位数学家也为此高兴。

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Benson Farb

没想到,这个早在1957年被“半解决”的问题,现在却把研究多项式、拓扑学、数论的三位数学家联系起来。

只因为这一次失败,他们打开了新通向新数学世界的大门,为自己的研究领域找到了新的工具。

希尔伯特第13个问题

还是先从希尔伯特第13个问题本身说起。

1900年,著名数学家大卫·希尔伯特在第二届国际数学大会上提出了23个数学问题,被看作指引了此后数学界一百多年的发展。

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1900年的大卫·希尔伯特

希尔伯特第13个问题只是这23道题其中之一,它的内容是这样的:

7次方程的解,能否用两个变量的函数的组合表示?

受过九年义务教育的朋友,应该都背过二次方程

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的求根公式

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至于三次方程

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的解,中学数学没有教,因为它实在太复杂了:

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随着方程次数的增加,求根公式的复杂度也急剧增加。那么我们有没有可能写出4次、5次、6次乃至7次方程的求根公式?

阿贝尔-鲁菲尼定理告诉我们,5次以及更高次的多项式方程,并不存在“一般意义”的求根公式。

这个所谓的“一般”在数学上有严格定义,就是只包含只能包含加减乘除以及乘方、开方6种运算。

所以七次方程的“一般”求根公式显然也是不存在的。而希尔伯特所说的求根公式,比“一般”要宽松一些。

经过一系列变换后,7次方程可以简化为如下的形式:

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其中a、b、c都是复数,方程的解应该是a、b、c的函数,即x=f(a,b,c)。希尔伯特的意思是:

这个三元变量函数能否能表示为二元变量函数的组合。

三个数学家联手

1957年,两位苏联数学家安德烈·柯尔莫哥洛夫(Andrei Kolmogorov,)和他当时只有19岁的学生弗拉基米尔·阿诺德(Vladimir Arnold)证明了,7次方程的解可以简化为两个变量的连续函数的叠加。

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1957年的弗拉基米尔·阿诺德


可能希尔伯特并不关心这个结果。因为很多数学家认为,希尔伯特所说的函数,应该是代数函数,而非连续函数。

在数学界,希尔伯特问题只能说被“半解决”了。

而阿诺德和他的导师柯尔莫哥洛夫也不是完全为了解决希尔伯特的问题,只是以他俩名字命名的“Kolmogorov-Arnold表示定理”的附带结果。

这条定理激发了很多数学家对函数理论和其他相关问题进行的许多研究。

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法布也在其中找到了解决自己问题的法宝。5年前,法布看到阿诺德的一篇文章,这位著名的数学家对他的工作和职业进行了反思。

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阿诺德近况

法布惊讶地发现,自己研究的问题就在阿诺德求解希尔伯特第13个问题的方法中。

虽然数学家们还没有完全解决希尔伯特第13个问题,但是从中发现已经消失的数学策略,探索了这个问题与各种领域之间的联系,其中包括复杂分析、拓扑、数论、表示论和代数几何。

5年前,法布与当时还是博士后的杰西·沃尔夫森(Jesse Wolfson)进行拓扑项目的合作。

2017年,在庆祝法布50岁生日的研讨会上,他的老朋友马克·基辛(Mark Kisin)听到了沃尔夫森的演讲,并惊讶地意识到,这两位关于多项式的思想,正与他自己的数论研究中的问题有关。于是他加入了合作。

视觉思考打开新世界的大门

法布说,希尔伯特的第13个问题是数学中最基本的公开问题之一,因为它引发了深层次的问题:多项式有多复杂,我们该如何衡量?

用图形的方式能够最直观地理解多项式。在解析几何里,多项式可以绘制成曲线,方程越高阶产生的曲线越复杂,求解方程实际上就是找到这条曲线与x轴的交点。

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而具有多个变量的多项式,则对应着更高维度中的曲面。通过研究这些曲面的性质,数学家们可以进一步了解多项式。

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结果就是,许多理解多项式的努力都来自代数几何和拓扑学。拓扑学专注于图形在投影、变形、压缩、拉伸或以其他方式变形而不会断裂时发生的情况。

希尔伯特本人就是将几何方法用于研究其他问题的高手。

1900年他提出23个问题时,数学家已经有了许多简化多项式的技巧,但是仍然无法取得进展。

1927年,希尔伯特描述了一个新的技术。他首先确定了简化九次多项式的所有可能方法,然后在其中发现了一系列特殊的三次曲面。

希尔伯特知道,每个光滑的三次曲面(由三次多项式定义)都精确地包含27条直线,无论这个曲面看起来有多扭曲。(这些直线会随多项式系数的变化而变化。)

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他意识到,如果知道这些直线中的一条,就可以简化9阶多项式,并找到9次方程的根。

这个求根公式只需要四个参数的函数。用现代术语来说叫解析度(resolvent degree)为4。所谓的解析度就是描述某个多项式方程函数的最少自变量数目。

对于7次方程而言,其解析度为2。

希尔伯特的方法说明,可以利用几何世界的工具将9阶多项式的解析度降低到4。

2020年1月,与法布有过合作的沃尔夫森(Wolfson)发表了一篇论文,将希尔伯特关于9阶多项式的几何工作扩展到更一般的理论。

希尔伯特专注于三次曲面,用于求解9阶多项式。但是高阶多项式呢?沃尔夫森认为,可以用高次多项式形成的某些高维“超曲面”代替三次曲面,以类似的方式解决这些问题。

虽然我们对它们的几何形状了解甚少,但是在过去的几十年中,数学家已经能够证明在某些情况下超曲面上总是有直线。

原来这几十年里,研究拓扑几何数学家已经不知不觉中“帮助”研究多项式的数学家开路了。

通过这种新方法,沃尔夫森确认了9阶多项式的希尔伯特解析度。对于其他多项式,尤其是9阶以上的多项式,他的方法缩小了解析度的上限。

因此,这已经不是只关乎希尔伯特第13个问题,而是扩展到了整个多项式问题,数学家们可以借此提出关于6次、8次、9次的类似问题。

三位数学家发现的这个一般的解析度理论表明,这套工具是使用范围超出了他们的想象。关于6次、7次和8次方程的希尔伯特猜想,还与其他原本看似无关的数学领域中的问题等效。

法布说,希尔伯特第13个问题是万花筒。

“打开这个东西,投入的越多,就会得到更多的新方向和想法。”

“它打开了通往各个学科的大门、整个美丽的数学网络。”

在法布看来,成功在数学中很罕见,数学家90%的时间在承受失败。

这种失败,应该是他很乐于享受的。因为他们找到了一个新的数学工具,就像爱丽丝从兔子洞掉入了一个神奇的仙境。

参考链接:

数学家探寻未解决的希尔伯特第13个问题

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-probe-unsolved-hilbert-polynomial-problem-20210114/

公众号“普林小虎队”:那些不被允许领取菲尔兹奖的数学家

https://mp.weixin.qq.com/s/s6Uajiq5s9B1UELNlrKMPA

论文地址:

https://arxiv.org/abs/2001.06515

— 完 —

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