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一、十部算经的构成 1.1十部算经 十部算经指成书于西汉至唐中叶的《周髀筭经》、《九章筭术》、《海岛筭经》、《孙子筭经》、《张丘建筭经》、《夏侯阳筭经》、《缀术》、《五曹筭经》、《五经筭术》、《缉古筭经》等十部数学经典，它们几乎是现存汉唐全部数学著作。唐初李淳风等奉诏整理这十部算经，成为国子监算学馆的主要教材，也是科举考试明算科的主要考试科目。 北宋元丰七年（1084）秘书省刊刻汉唐算经，这是世界上首次印刷数学著作。时《夏侯阳筭经》、《缀术》已经亡佚，便以唐中叶的一部实用算书充任前者，后者只好付之阙如。13世纪初南宋鲍澣之翻刻了这些算经，同时刊刻了汉末徐岳撰、北周甄鸞注的《数术记遗》，学术界通常称为南宋本。到明末，南宋本《九章筭术》遗失后四卷及刘徽序，仅存前五卷。《海岛筭经》、《五经筭术》亦亡佚。清康熙之后，《缉古筭经》、赝本《夏侯阳筭经》又亡佚。残存的几部成为藏书家的古董，后分别藏于上海图书馆和北京大学图书馆，这是世界上现存最早的印刷本数学书籍。1980年文物出版社影印了残存的南宋本，称为《宋刻算经六种》。 明初编纂《永乐大典》，取十部算经中《周髀筭经》、《九章筭术》、《海岛筭经》、《孙子筭经》、《五曹筭经》、《五经筭术》、《夏侯阳筭经》等七部在唐中叶的某个抄本分类抄入“筭”字等目。 1.2算经十书 清康熙年间，汲古阁主人毛扆影抄了残存的南宋本。清中叶修《四库全书》，戴震从《永乐大典》辑录出七部汉唐算经。不久戴震以汲古阁本为底本，以大典辑录本参校，由孔继涵在微波榭刊刻，始称为《算经十书》。以《周髀算经》等九部为正文，而以《数术记遗》作为附录。1963年钱宝琮以微波榭本在庚寅年的一个翻刻本为底本校点《算经十书》，以《数术记遗》、《夏侯阳算经》作为附录。1998年、2001年郭书春等点校《算经十书》，其中《周髀算经》（系与刘钝合作）、《九章算术》（前五卷）等以南宋本或汲古阁本为底本，《九章算术》后四卷及刘徽序、《海岛算经》、《五经算术》以恢复的《永乐大典》的戴震辑录本为底本，亦如钱校本，以《数术记遗》、《夏侯阳算经》作为附录。 二、40年来关于十部算经的研究著作 对《九章筭术》及其刘徽注的研究（含《海岛筭经》），是40余年来中国数学史界和中国科学技术史界的突出现象，是破除因钱宝琮主编的《中国数学史》面世而产生的“中国数学史已经搞完了”，是“贫矿”的迷信的先声，对克服因李、钱二老去世及十年动乱造成的中国数学史研究的中落状态发挥了巨大作用。40年来，发表关于《九章筭术》及其刘徽注的各种论文和文章数百篇，出版学术专著30余种，常被学术界称为“《九章》与刘徽热”。关于《九章筭术》及其刘徽注的一些著作深受读者欢迎，许多著作被多次重印或修订再版，有的9年印刷达7次，有的修订达二三次之多，可见社会对之需要之夥。关于《九章筭术》的出版物多次纳入“国家重点图书出版规划项目”，2020年教育部“推荐中小学生阅读”，入选“教育部基础教育课程教材发展中心中小学生阅读指导目录”。 40年来，也出版了研究十部算经及《周髀筭经》、《孙子筭经》、《张丘建筭经》、《夏侯阳筭经》、对祖冲之父子和《数术记遗》的许多研究著作。 当然，在其他关于中国数学史的通史性著作和《中华大典·数学典》中，十部算经也是重要内容。 自然，这些著作良莠不齐，也反映了不同的认识和学术观点。主要讨论了以下问题。 2.1关于《周髀筭经》的研究 关于《周髀筭经》的成书年代，有的著述不同意钱宝琮以该书所记载的二十四节气的名称和顺序与《淮南子·天文训》相同而断定其成书于《淮南子》之后即公元前100年前后的看法，认为为什么一定说《周髀》引用了《淮南子》而不是相反？因此《周髀筭经》的成书年代实际上并未解决。 有的著述认为本书以准公理化方法描述了盖天说的宇宙模式，并用来解释有关的天文现象。至于这个模式中天与地的关系，有的著述认为是两个平行的球冠形，也有的著述认为是两个平行的平面。钱宝琮、薄树人等认为本书两卷所反映的的宇宙模式是不同的，他们称为第一次盖天说与第二次盖天说。有的著述不同意这种看法，认为全书形成了一个自洽是体系。 关于陈子答荣方問包括哪些内容有不同看法。有的著述认为自“昔者荣方问于陈子”至全书之末都是陈子答荣方問。有的著述认为陈子答荣方問仅到“七衡图”之前，此后均不是陈子的话。 有的著述认为陈子大约生活在公元前5世纪。 有的著述认为陈子提出学习数学要“通类”，能“类以合类”，做到“问一类而以万事达”。因此，数学中的“术”要“言约而用博”。这种思想是当时已经存在的数学知识的总结，也在实际上规范了中国古典数学的形式与特点。 有的著述认为“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为勾广三，股脩四，径隅五”反映了一般性的勾股定理，并称为商高定理。有的著述仍坚持钱宝琮的看法：商高所述是勾股定理的一个特例，不是完整的勾股定理，更不能称为商高定理。 有的著述认为传本“圆方图”、“方圆图”、经文“此方圆之法”及其以下赵注8字、经文49字在盖天数理宇宙模型与七衡图之间“十分突兀”，据北宋李诫《营造法式》所引，将其移“周公曰：'大哉言数！’”之前。 大多数著述认为，赵爽关于日高图的研究实际上是重差术。 2.2关于《九章筭术》的研究 （1）关于《九章筭术》的编纂 关于《九章筭术》的编纂是中国数学史的重要课题。40年来的看法异彩纷呈。有的著述仍沿袭钱宝琮成书于公元1世纪的看法；有的著述认为刘歆是其编纂者；有的著述认为编纂于公元前1世纪；有的著述从对《九章筭术》体例的分析，并以所反映的物价为参照，认为刘徽的看法最为可靠，即在先秦即有某种形态的基本上采取术文统率例题的《九章筭术》，在秦火中遭到破坏，西汉大数学家张苍、耿寿昌先后删补而成。 （2）关于《九章筭术》的体例 学术界多将《九章筭术》看成一部一题、一答、一术的应用问题集。有的著述不同意这种看法，认为其主体部分，即方田、粟米、少广、商功、盈不足、方程六章的全部及衰分章的衰分部分、均输章的均输部分、勾股章的勾股术等凡82术，196道题目，约占全书的80%，是术文统率题目的体例。在这里，术文是中心，是主体，都是非常抽象、严谨，具有普适性，换成现代符号就是公式或运算程序。题目是作为例题出现的，是依附于术文的。 其余部分即衰分章的非衰分问题、均输章的非典型均输问题、勾股章的解勾股形及立四表望远等问题才是应用问题集的形式。 （3）关于损益 自20世纪一十年代至八十年代，学术界对《九章筭术》的数学成就基本上搞清楚了。但对方程章的损益方法则认识不够。有的著述认为，损益就是“还原”与“对消”，是建立方程的方法，它在方程中的作用，大体与正负术等同。这要比学术界认为建立了代数学的花拉子米的同类思想和方法要早千年左右。 （4）关于《九章筭术》所反映的物价 有的著述认为《九章筭术》反映了汉代的物价。 也有的著述以《史记》、《汉书》、居延汉简等典籍为参照，认为尽管有的物价，《九章筭术》与汉代十分相近，但总的来说，“认为《九章筭术》里的物价即汉代物价是颇勉强的”，《九章筭术》从整体上说反映了战国与秦代的物价水平，而不是汉代的物价水平。 （5）关于《九章筭术》与秦汉数学简牍的关系 上世纪80年代初汉简《筭数书》出土之后，学术界多数认为《筭数书》是《九章筭术》的前身。有的著述甚至认为《筭数书》是张苍编撰的。张苍整理好的数学官简，留在中央政府有关部门的那套便发展成了后来的《九章筭术》。也有的著述认为，就整体而言，《筭数书》不可能是《九章筭术》的前身。而由于无法搞清楚《九章筭术》在先秦以“九数”为主体的某种形态的编纂年代，而且《筭数书》所源自的数学著作不止一二种——尽管我们不知道这些著作的书名，但却可以断定它们不是同时的作品，其时间跨度相当长，因此，这个问题目前仍然无法得出确切的结论。不过，由于两者有的内容有相同或相似之处，它们的一部分有承袭关系或有一个共同的来源，则是无可怀疑的。至于孰早孰晚，有待于进一步考察。这些看法当然也适应于后来收藏的秦简《数》、《筭书》及出土的汉简《筭术》等秦汉数学简牍。 （6）关于《九章筭术》使用的逻辑 有的著述认为《九章筭术》和中国古代数学的成就的取得是非逻辑性的，是靠直观和悟性取得的。多数著述不同意这种看法。 有的著述根据刘徽注之“采其所见”者，认为《九章筭术》时代存在某种推导，但这种推导是以类比和归纳逻辑为基础的。 2.3关于《数术记遗》的研究 清戴震、近人钱宝琮认为《数术记遗》是北周甄鸾自撰自注假托东汉徐岳撰。 40年来还有的著述采用这种看法，但更多的学者认为此书系徐岳撰、甄鸾注。徐岳说他的数学知识得益于刘洪。有的著述把刘洪称为“算圣”。有的著述不同意这种看法，因为刘洪说他的数学知识来源于天目先生。 40年来人们更多的是对14种算法的探讨，各抒己见。几乎所有的的著述都 不同意宋元之后的珠算盘与《数术记遗》的“珠算”没有关系的看法，认为后者对前者的创造起码有借鉴作用。有的著述认为西周的陶珠是算盘珠，更多的学者不同意这种看法。 2.4关于刘徽及其《海岛筭经》的研究 （1）刘徽的籍贯 严敦杰最先发现刘徽在北宋被封为淄乡男。有的著述据此进一步考证，认为淄乡在今山东省邹平市。2013年在刘徽注《九章筭术》1750周年之际中国科学院自然科学史研究所、全国数学史学会联合山东省邹平县政府召开了国际学术研讨会。 但也有人认为刘徽是淄川人。 （2）刘徽与魏晋辩难之风及刘徽注《九章筭术》时的年龄 有的著述分析了东汉末至魏晋的社会经济、政治和社会思潮的变化,认为庄园经济已成为主要的经济形态，繁琐的两汉经学退出历史舞台，辩难之风兴起，知识界盛行“析理”，力争理胜。刘徽深受其影响，从而奠定了中国古典数学的理论基础。 一位大画家将刘徽画成一个耄耋老人，流传甚广。吴文俊先生反对将此引入学术著作和大百科全书。有的著述认为这幅画像违背了历史事实。刘徽的思想深受辩难之风的影响，他的许多句法都与辩难之风的代表人物嵇康、王弼、何晏相近甚至相同，嵇康、王弼生于3世纪20年代中期，因此刘徽应生于此时或稍后，他注《九章筭术》时当在30岁上下，不可能是耄耋老人。 （3）刘徽注的构成 有的著述根据刘徽的自述认为刘徽注含有两种内容：一是他自己的数学创造，即“悟其意”者；一是记述的他人和前人的数学知识，甚至《九章筭术》时代的方法，即“采其所见”者，比如棋验法和出入相补原理就是《九章筭术》所使用的方法。 也有的著述将刘徽说的“采其所见”翻译成“就收集自己的见解”，将整个刘徽注都看成刘徽的思想，甚至说出入相补原理是刘徽的首创。 （4）刘徽关于率的理论 有的著述认为刘徽发展了《九章筭术》率的理论，根据刘徽关于率和齐同原理是“算之纲纪”的思想，发现刘徽将率的理论应用于《九章筭术》大部分术文和200多个问题。有的著述和学校将率的理论用于改革中小学数学教材，取得了良好的效果。这是将中国古典数学的思想和方法用于现今数学教材改革的典型事例。 （5）刘徽对圆面积公式的证明和求圆周率的程序 20世纪70年代末以前，几乎所有的中国数学史著述都将刘徽的割圆术和极限思想看成只是为了求圆周率。在求出半径10寸的圆面积的近似值314之后，利用圆面积公式，求出了。40年来有的著述还采用这种说法。有的著述依据刘徽注原文，认为刘徽的极限思想和无穷小分割方法首先是证明《九章筭术》的圆面积公式。然后将圆面积近似值314代入此式，反求出圆周长近似值6尺2寸8分，与直径20寸相约，便得到。同时指出，求圆周率近似值用不到极限过程，只是极限思想在近似计算中的应用。刘徽在求圆周率近似值时尚未证明与圆面积公式相当的公式。以往的说法不仅背离了刘徽注，而且会将刘徽置于他从未犯过的循环推理的失误之中。 对到底是谁求得了圆周率近似值，40年来仍然是两种看法，大部分学者认为作者是刘徽，还有部分学者认为作者是祖冲之。 （6）对棋验法的不同认识 中国数学史界对棋验法的看法有较大的分歧。有的著述认为棋验法是《九章筭术》成书和秦汉数学简牍时代解决多面体体积问题的方法，它以三品棋（即长、宽、高为1尺的正方体、堑堵、阳马）为基础，只能论证可以分解为或拼合成三品棋的多面体的体积公式。由这种特殊多面体推出一般的多面体的体积公式，是一个归纳的过程，而不是演绎的过程。特别，用棋验法无法解决阳马和鳖臑的体积公式，刘徽才提出了刘徽原理。 有的著述认为，棋验法是解决任何多面体体积公式的有效方法。 （7）刘徽原理及其证明 刘徽为了解决用棋验法无法解决的阳马和鳖臑的体积公式，提出了：将一个堑堵分解为一个阳马、一个鳖臑，永远有：。吴文俊将其称为刘徽原理。40年来，对刘徽用极限思想和无穷小分割方法证明了刘徽原理，它是刘徽多面体体积理论的基础，已经深入到希尔伯特“二十三个数学问题”的第三个问题，等等，已无异议。但是，对刘徽原理的证明过程中，将拼合成堑堵的赤鳖臑与黑阳马分割成小的鳖臑和阳马，“令赤黑堑堵，各自适当一方”的理解则不同，有的著述认为是一个赤堑堵与一个赤堑堵拼成一个立方；有的著述认为是一个赤堑堵与一个黑堑堵拼成一个立方，因为在长、宽、高不等的情况下，一个赤堑堵与一个赤堑堵是无法拼成一个立方的。 （8）刘徽的方程理论 有的著述认为刘徽给方程以明确的定义，“方”训并，方程就是并而程之。明之后直至20世纪80年代大多数著述对“方程”的理解背离了《九章筭术》和刘徽的本义。有的著述仍然使用明之后对“方程”的错误理解。 刘徽以齐同原理提出了方程消元的理论基础“举率以相减，不害余数之课”。刘徽创造了方程消元的互乘相消法，创造了方程新术。目前学术界对《九章筭术》方程章麻麦问刘徽以旧术消元的程序还有不同看法。 （9）刘徽的勾股理论 在“中国数学史已经没有什么可搞的了”，“是贫矿”的看法笼罩中国数学史界的20世纪70年代末，有的著述发现《九章筭术》勾股章“二人同所立”使用了勾股数组的通解公式，可谓静水微澜。后来又有著述发现从勾股章“户高多于广”和“持竿出户”问可以导出勾股数组的另外两个通解公式，并用前者成功解决了南宋秦九韶《数书九章》“遥度圆城”10次方程的造术。 有的著述借助出入相补原理和相似勾股形“勾股相与之势不失本率”的原理，整理了刘徽的勾股理论系统。 （10）关于《海岛筭经》的研究 对《海岛筭经》诸问的造术研究，是40年来的重要课题。有的著述沿用钱宝琮等学者是用比率的理论推导的说法，并有所修正。吴文俊则使用出入相补原理全面推导《海岛筭经》9个问题的造术。有的著述认为，鉴于刘徽对《九章筭术》勾股章中比较复杂的问题，既用了出入相补原理，又使用了率的理论，对《海岛筭经》这类更为复杂的问题，应该同时使用这两种方法进行推导。 对《海岛筭经》第一问望海岛的原型，有的著述认为是山东半岛沿海的某个海岛。有的著述则认为，山东半岛乃至整个中国没有这么高又距大陆如此近的海岛。望海岛问的原型实际上是泰山，从大汶河北岸望玉皇顶，没有任何障碍物，恰似一海岛，并用重差术实测了泰山。 （11）刘徽的数学定义 有的著述认为，刘徽改变了《九章筭术》中对数学概念的涵义约定俗成的惯例，给许多重要数学概念作出了明确的定义，揭示了这些概念的本质属性，成为他进行判断、推理和证明的前提和出发点。这是中国数学史上的一个创举。刘徽的定义有几个共同特点：首先，被定义概念与定义概念的外延都相同，就是说，定义都是对称的；同时，定义项中没有包含被定义项，没有未知的概念，没有出现循环定义；第三，这些定义简洁明晰，没有使用否定的表达，也没有比喻或含混不清的概念；总之，刘徽的定义基本上符合现代数学和逻辑学中关于定义的要求。 （12）刘徽的逻辑思想 有的著述认为刘徽既使用了类比和归纳推理，更多地是使用了演绎推理。演绎推理的几种主要形式，如三段论、关系推理、假言推理、假言联锁推理、选言推理、联言推理和二难推理，刘徽都有所应用，甚至还有数学归纳法的雏形。这大大超过了以往的数学著作，也超过同代的及先前的文史著作。而且，刘徽关于这些推理的使用方法都是准确无误的。也应指出，刘徽说《九章筭术》宛田术“不验”是正确的，但其论证并不充分，犯了混淆概念的失误。 （13）刘徽的数学理论体系 有的著述梳理了各个刘徽注的逻辑关系，没有发现任何逻辑矛盾，并且各种计算方法、面积问题、体积问题和勾股问题分别形成了自洽的推导系统，再结合刘徽关于数学知识“枝条虽分而同本干知，发其一端而已”的论述，认为刘徽先于欧洲学者1700多年提出了“数学之树”的思想，这棵数学之树“发其一端”即“亦犹规矩度量可得而共”。规矩代表空间形式，度量代表数量关系，也就是刘徽数学之树的根，数学方法是客观世界的空间形式和数量关系的统一，反映了中国古代数学形数结合，几何问题与算术、代数密切结合的特点。 有的著述认为《九章》至刘徽形成了中国古代数学的推理体系，包括三个分支：以“今有术”为中心的算术推理系统，以“出入相补原理”为基础的几何推理系统，以几何图形变换与代数相结合的代数推理体系。现今计算数学中占有基础作用的循环结构思想也有广泛应用。 （14）关于《九章筭术》的版本 关于《九章筭术》的版本差异主要体现在刘徽注中。 有的著述通过校雠，认为直到20世纪80年代初期，《九章筭术》的版本一直非常混乱而没有纠正。实际上，在唐中叶《九章筭术》已经存在北宋秘书省本、大典本、杨辉本的母本等至少五六个甚至更多的内容基本一致而又有若干细微差别的抄本。其中南宋本和杨辉本的母本最为接近，或者就是同一个母本。南宋本和杨辉本的母本在唐中叶就已与大典本的母本不同了。学术界常说《永乐大典》取南宋本抄入，是想当然的误解。有人说杨辉本与大典本最为接近而与南宋本差别较大，是没有根据的。 南宋本《九章筭术》到清初只存前五卷，康熙间汲古阁主人影抄了南宋本，尽管是影抄，两者的文字却并不能完全等同。比如南宋本卷五刘徽注“今粗疏”（杨辉本和戴震辑录本亦如此），汲古阁本误作“今租疏”，微波榭本进一步误作“今祖疏”，李潢说此“祖”指祖冲之，怀疑这一段刘徽注是祖冲之注。由此在20世纪50年代引起了数学史界关于的创作者到底是刘徽还是祖冲之的辩论。这是后话。 清中叶戴震在四库全书馆从《永乐大典》辑录出《九章算术》，贡献极大，但戴震的辑录非常粗疏，给《九章算术》造成严重的版本混乱。四库馆臣根据戴震辑录校勘本的正本抄录了文津阁本。不久又根据戴震辑录校勘本的副本排印了活字版，收入《武英殿聚珍版丛书》，抄录了文渊阁本。馆臣在副本中做了若干修改和修辞加工。还发现了乾隆御览的聚珍版。后来戴震整理豫簪堂本和微波榭本《九章算术》又做了若干修辞加工，孔继涵继而将微波榭本冒充南宋本的翻刻本，进一步造成版本混乱。文津阁本是戴校诸本中最准确的一部。 清末福建根据李潢的《九章算术细草图说》对聚珍版做了修订，刊刻了补刊本聚珍版，自然融入了若干南宋本的字词和微波榭本的修辞加工以及李潢的校勘。不久广东广雅书局翻刻了福建补刊本。目前国内外图书馆所藏聚珍版的初印本已是凤毛麟角，而大多数是补刊本和广雅本。因此，在使用聚珍版时需要认真考察，否则容易张冠李戴。 1963年出版的钱宝琮校点的《九章算术》纠正了戴震、李潢等人的大量错校，提出了若干正确的校勘，指出微波榭本是戴震校本，揭穿了孔继涵将其冒充宋本翻刻本，并将刻书年代刻成乾隆三十八年的骗局。然而钱校本以微波榭本在清光绪庚寅年（1890）的翻刻本为底本，把汲古阁本等同于南宋本，把广雅书局本等同于聚珍版，将近20条李潢的校勘说成“聚珍版”。 1990年出版的汇校《九章算术》，其前五卷以南宋本为底本，后四卷及刘徽序以聚珍版、文渊阁四库本对校而成的戴震辑录本为底本，恢复了被戴震等人改错的南宋本、大典本不误原文约450处，采用了戴震、李潢、钱宝琮等大量的正确校勘，重新校勘了若干原文确有舛错而前人校勘亦不恰当之处，并对若干原文舛误而前人漏校之处进行了校勘。不过此本也有个别错校和错字。此外，汇校本还汇集了近20个不同版本的资料。2003年、2014年先后以汇校本为基础出版了汇校《九章筭术》增补版和《九章筭术新校》，后者前五卷以南宋本为底本，后四卷及刘徽序以文津阁本为底本由聚珍版、文渊阁本参校而成的戴震辑录本为底本。 目前出版的有关《九章筭术》的各种版本，有的是大典本版本链；有的是南宋本-杨辉本版本链的；有的是在各传本中择善而从者，如中法双语评注本。也有的版本的来源作者没有说明，或者比较混乱。 （15）关于《九章筭术》的校勘 所谓《九章筭术》的校勘，主要是对刘徽注的校勘。因为《九章筭术》本文错讹极少，大量错讹在刘徽注中，而且对刘徽注的校勘做好了，则李淳风等注释的校勘大多可迎刃而解。20世纪以来校勘《九章筭术》的主要任务是：剔除戴震辑录本的粗疏和各版本转换中出现的衍脱舛误及戴震的修辞加工，恢复被戴震等人错改的不误原文，重校原文舛误而前人校勘不当者，校勘原文舛误而前人漏校者。 校勘中应该特别注意：认识篇章结构及主旨是校勘的基础，不轻易以经改注或以注改经。算理是校勘的根本，准确的中国数学史知识是正确校勘的前提。正确句读，弄懂古文是理解数学内容，避免误改原文的保证。要掌握古文的修辞规律。 传本中刘徽注的大量错讹在唐中叶就产生了，而且各传本的错讹基本相同，需要用理校法。对这类校勘，仁智各见，会长期讨论下去。 （16）关于《九章筭术》的外文翻译 20世纪70年代末以前，国内外没有出现过含有刘徽注的《九章筭术》译本。40年来，先后出版了日译本、英译本、中法双语评注本、捷译本和中英对照本，后四种还含有李淳风等注释。这些翻译有的比较准确，但也有的或词不达意，或有曲解之嫌。 2.5关于《孙子筭经》的研究 有的著述列举了关于《孙子筭经》的成书年代各种说法，认为定其成书年代为西晋（公元265-317年）是较为合理的。但是还有许多著述仍沿用钱宝琮《孙子筭经》公元400年前后成书的说法。 2.6关于《张丘建筭经》的研究 有的著述废止了戴校微波榭本因避孔子名（丘）讳而改成的《张邱建算经》之名，恢复本名《张丘建筭经》。有的著述仍沿用微波榭本“张邱建”的写法。 有的著述对张丘建的籍贯做了考证，认为在今山东省。 对《张丘建筭经》的成书年代，有的著述仍采用钱宝琮的公元466-485年成书之说，而有的著述认为应在431-450年之间。 有的著述详尽研究了《张丘建筭经》中的等差数列。 有的著述对百鸡术的造术做了新的探讨。 2.7关于祖冲之父子的研究 全国数学史学会联合河北祖冲之中学于2000年10月在祖冲之的祖籍涞水县组织了纪念祖冲之逝世1500周年国际学术研讨会，此后筹建了祖冲之研究会，涞水县又正筹建祖冲之科技园。 严敦杰的《祖冲之科学著作校释》于2000年首次出版，2017年出版增补版，2021年出版增补重印本，深受读者欢迎。 对《缀术》是不是如王孝通所说有“于理未尽”、“全错不通”的地方，有的著述认为，以祖冲之治学之严谨，“于理未尽”是可能的，但不可能存在“全错不通”的地方，而是王孝通与算学馆的学官一样“莫能究其深奥”，才说这种话。 对《缀术》失传的时间，文革前学术界根据《宋史》记载北宋楚衍通《缀术》认为在北宋失传，有的著述认为如果楚衍还读过《缀术》，距元丰年间不过几十年，而且没有大的战乱，不可能找不到，所以它的亡佚是因为“学官莫能究其深奥，是故废而不理”，经过安史之乱、藩镇割据丢失的。 2.8对王孝通和《缉古筭经》的研究 有的著述对《缉古筭经》烂脱的几个题目在钱校本的基础上继续校勘，尚不能取得一致意见。 有的著述认为，王孝通自诩《缉古筭经》“千金方能排一字”反映了他治学严谨，是用他认为最佳的方法去解题，而且在文字上也细加推敲，字斟句酌，表明其功夫之深，用心之苦，信心之坚。有的著述的看法则相反：王孝通历数周公以后的数学名家，无一当意者，虽表彰刘徽为“一时独步”，却又说“未为司南”，而“自刘已下，更不足言”，而对自己的《缉古筭经》，则唯恐自己“一旦瞑目，将来莫睹”，“后代无人知者”，自以为前无古人，后无来者，目空一切。数学家不必做谦谦君子，但像王孝通这样狂妄自大，贬低前贤，蔑视同辈，轻视后学，是不足取的。 2.9关于李淳风等的研究 李淳风等整理十部算经，其《周髀筭经注释》比赵爽注有所推进，有的著述探讨了斜面重差术。有的著述认为，李淳风等对《九章筭术》的注释，从整体上讲，无论是数学成就还是理论水平，都远远低于刘徽注。李淳风等多次指责刘徽，事实证明，错误的不是刘徽，而是李淳风等人。但也有个别作者认为李淳风等对刘徽的指责是正确的。 有的著述认为，《缀术》虽然列入隋唐算学馆的课程和明算科的考试科目，但那只是纸上的东西，因“学官莫能究其深奥”，在实际上是不可能进行教学活动，更不可能作为考试科目的。 2.10关于李籍《九章筭术音义》的研究 对于李籍生活的时代，《永乐大典》戴震辑录本记作“唐”，《畴人传》三编改作“宋”，其根据不清楚。大约是认为李籍可能参与了北宋秘书省刻本。实际上李籍《九章筭术音义》所使用的字词表明，他不可能参与此事。 有的著述详尽考察了李籍所用的字词，对理解《九章筭术》和刘徽注很有裨益。同时由《九章筭术音义》可以发现在唐中叶存在着五六个甚至更多的内容基本一致但有少数字词差别的抄本，其中有南宋本、杨辉本、大典本的母本。前二者比较接近或就是同一个抄本。李籍所用抄本应该是大典本的母本。 2.11对赝本《夏侯阳筭经》的研究 有的著述不同意赝本《夏侯阳筭经》是唐中叶的“韩延算术”的看法，而认为这是另一部实用算术书。 三、十部算经研究所导致的几个重大问题 近40年来，对中国古代数学，除了这种称呼外，通常还有两种：一是“中国传统数学”，一是“中国古典数学”。同一作者在不同的年代也会有不同的称呼。近年编纂《中国大百科全书》第三版的《数学卷》和《科学史卷》，其数学史组确定使用“中国古典数学”。 十部算经是中国古典数学奠基时期的著作，关于它的研究关系到中国数学史研究的若干重大问题。 3.1中国古典数学什么时候形成了数学体系 近百年来，特别是40年来，中国数学史著述对中国古典数学体系在什么时候形成有不同的看法。 许多著述说《九章筭术》形成了中国古代的数学体系。 有的著述认为，《九章筭术》分类不合理，有的卷章文不对题，对概念没有定义，对公式和算法没有推导，因此不能说已经形成了一个数学体系，只是建立了中国古代数学的基本框架，而且这种框架延续了2000余年。 有的著述认为，刘徽给许多数学概念作出了定义，以演绎逻辑为主全面证明了《九章筭术》和他自己提出的公式、解法，从而形成了中国古典数学的理论体系。这个体系是《九章筭术》数学框架的发展和改造，但其内部结构和逻辑关系与《九章筭术》的框架是不同的。 有的著述则笼统地说《九章算术》和刘徽的数学理论体系。 3.2汉唐数学的分期 由于对中国古典数学什么时候形成了数学体系的看法不同，对汉唐数学史乃至整个中国古典数学史的分期，也有不同的分野。有的著作沿袭钱宝琮的看法，将从秦统一至唐中叶看成一个阶段。 有的著述分为上古至西汉，九章算术、东汉三国、西晋至五代几个阶段。 有的著述联系刘徽关于《九章筭术》编纂的论述，将春秋战国至东汉看成以《九章筭术》为主体的框架确立的时期，而将汉末至唐中叶看成以刘徽和祖冲之为代表的理论奠基时期。 3.3以《九章筭术》为代表的中国古典数学属于世界数学发展的主流 吴文俊先生考察了《九章筭术》等中国古典数学经典的算法，认为其具有程序化、机械化、构造性的特点，可与西方欧几里得《原本》公理化演绎体系相媲美，它们交替成为世界数学发展的主流。这是这一时期数学史研究重大理论成果。 3.4吴文俊先生的古证复原三原则 在研究《海岛筭经》时，吴文俊先生提出了著名的古证复原三原则： 原则之一，证明应符合当时本地区数学发展的实际情况，而不能套用现代的或其他地区的数学成果与方法。 原则之二，证明应有史实史料上的依据，不能凭空臆造。 原则之三，证明应自然地导致所求证的结果或公式，而不应为了达到结果以致出现不合情理的人为雕琢痕迹。 这三原则既是吴先生对半个多世纪中国数学史研究经验的总结，也指导了此后近40年来中国数学史的研究，更是今后中国数学史研究的指南。 四、存在的问题 首先是关于十部算经的研究及其成果，基本上还是在数学史的圈子内流转，向学术界、教育界和社会普及不够。尽管近年数学教育界与数学史一起举行学术研讨会，但是参加会议的学校偏少，参加者基本上是由于自己的兴趣，控制教育界、学术界乃至社会的主流舆论还是中国古代数学落后，没有科学，甚至权威的科学报刊不时发表贬低、抹黑中国古代数学的文章。有一篇自称是中国科学院的“资深研究员”写的文章，胡说中国古代数学“交了白卷”，只懂得勾股定理，将国内外学术界公认的欧洲数学黑暗的中世纪吹得天花乱坠，而将中国现在（20世纪90年代）无人得诺贝尔奖归罪于中国古代数学。 另一方面，40年来绝大多数著述能从认真研究原始文献出发，得出自己的看法，推进了《九章筭术》和刘徽、算经十书研究事业的发展。但是也有某些著述存在不良倾向。这里仅指出几点。 一是不少著作不做深入研究，继续炒冷饭。有些作者对所抄的观点正确与否无法判断，甚至在同一部作品中抄录不同著述的互相抵牾的看法而不能做取舍。有些科普文章不能判断所抄的读物的优劣，往往使一些错误看法谬种流传，尤其是在中小学教师和中小学生中流传。 二是有的著述曲解古义，为了给自己错误的观点张本，甚至将连一个高中生都能读懂的古文故意歪解，比如将刘徽说的“采其所见”翻译成“就收集自己的见解”等。这当然违背了吴先生的三原则。 三是有的著述不加说明地随意删节古文，有的是不知为什么要删节；有的是发现古文与自己的错误观点相左，不是改变自己的看法以符合古文献，而是删去自己不喜欢的古文。 四是有的著述剽窃他人的成果，将他人已经发表或尚未发表的成果据为己有，还有将他人的著作整篇纳入自己的出版物而不做说明。这种有违学术规范和道德的恶劣现象屡屡发生。某些出版社的个别编辑不顾书稿质量，只要给钱就出书，出版了某些有严重问题的书，甚至引起官司，对簿公堂。 五、展望 中国古典数学著作或由于历代战乱而遭到破坏，或由于后人看不懂而“废而不理”而失传，中国古代的大多数数学著作已经亡佚。比如中国古典数学最发达的西汉至元中叶，现存只有20几部著作。因此，我们今天所知道的中国数学史上的确切成就，只是几个点。如何以科学的态度将这些点串联起来，形成一部接近历史真实面目的中国数学史，是数学史工作者的任务。一个多世纪以来，李俨、钱宝琮等前辈做了可贵的努力，近40年来许多数学史家又取得了若干新的成果。但是还有各种不足。如何按照吴先生的三原则写出更接近历史真相的中国数学史著作，是今天和今后一个相当长的时间内的重要任务。 十部算经的研究还有许多工作要做。首先，许多问题有待于深入，若干有争论的问题值得进一步研究。特别，靠“理校法”得出的大量校勘，需要时间的考验和历史的鉴定。 其次，要向教育界特别是中小学生和中小学数学教师、历史教师普及《九章筭术》及其刘徽注和十部算经的知识。除了撰写介绍十部算经的科普文章外，最重要的就是做十部算经的现代汉语译注。《九章筭术》之外的其他算经，尚未有现代汉语译注本，亟需开展。而各单位的学术著作分类多将其列入科普读物，愚以为是不合适的。多年前我在古籍整理小组会上曾提出，古代科技著作的现代汉语译注是比撰写学术著述困难得多的工作。很明显，对一时不懂的古文，撰写学术著述可以跳过去，而做现代汉语译注则必须逐字逐句弄懂。因此，应该将古代科技著作的译注列入学术著作。我现在仍然坚持这种看法。 第三，应该原原本本地向国外介绍《九章筭术》及其刘徽注和十部算经。国内学术界说中国古代没有科学、数学落后，其根子在国外。而国外学术界对中国古代数学的了解长期以来局限于日本三上义夫1913年的著作[①]。西方学术界对中国古代数学的许多偏见，除了少数欧洲中心论者外，大多数是因为他们不了解《九章算术》及其刘徽注和中国其他古代数学经典。因此，向外国尤其是欧美学术界原原本本地介绍中国古代数学经典，是中国学者的重要任务。这也是开展中外文化交流，使外国人了解中国古代文明的一项重要工作。其最好的方式就是做原著的外文译本，或做中外文的对照本。笔者与K.Chemla（林力娜）合作的中法双语评注本《九章算术》的成功，使笔者体会到，中国专家与以某种外语为母语的专家合作，将中国古典数学著作译成外文，是快捷、准确的途径。中法双语评注本《九章算术》是比较准确的，然而近几十年，法文快沦落为小语种了。不通英语的广大老百姓一般看不懂。而现在已经出版的《九章算术》英译本和中英对照本《九章筭术》都有严重不足。笔者为首席专家、J.Dauben（道本周）等世界著名数学史家参与的国家社科基金重大项目“刘徽、李淳风、贾宪、杨辉注《九章算术》的研究与英译”（2017-2021）目前正在执行，它的完成会将一个更好的汉英对照《九章算术》贡献给国内外学术界。还应该将《九章算术》及其刘徽注译成俄、德、西、朝、日等外文。 还应做十部算经的其他著作和《数术记遗》的外文翻译。 [①]Yoshio Mikami．The Development ofMathematics in China and Japan．New York：Chelsea Publishing Co.，1913：pp.1-156。 |
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