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数学从计数开始。然而，认为早期的计数是数学是不合理的。只有当一些计数的记录被保留下来，因此出现了一些数字的表示时，才可以说数学已经开始了。
 在巴比伦，数学从公元前2000年开始发展。早些时候，一个以60为基数的位值符号数字系统在很长一段时间内已经发展起来。它允许表示任意大的数字和分数，因此被证明是更强大的数学发展的基础。
诸如毕达哥拉斯三元组的数字问题(a,b,c)至少从公元前1700年开始研究。在解决数字问题的背景下研究了线性方程组。还研究了二次方程，这些例子导致了一种数值代数。
还研究了与相似图形、面积和体积有关的几何问题，并获得了 π 的值。
巴比伦数学的基础由希腊人继承，希腊人从公元前450年左右开始独立发展。埃利亚悖论的芝诺导致了德谟克利特的原子理论。更精确的概念表述导致人们认识到有理数不足以测量所有长度。出现了无理数的几何公式。对区域的研究导致了一种整合形式。
圆锥曲线理论显示了阿波罗尼乌斯在纯数学研究中的高潮。天文学推动了进一步的数学发现，例如三角学的研究。
希腊数学的主要进步是从公元前300年到公元200年。此后，伊斯兰国家继续取得进展。数学在伊朗、叙利亚和印度尤为繁荣。这项工作与希腊人取得的进步不符，但除了伊斯兰教的进步外，它确实保留了希腊数学。大约从11个 世纪艾德拉德浴，再后来斐波那契数，把这个伊斯兰数学和希腊数学的知识反馈到欧洲。
在欧洲数学方面取得重大进展在年初又开始了16个 世纪与帕乔利，然后卡丹，塔尔塔利亚和法拉利有三次和四次方程的代数解。哥白尼和伽利略彻底改变了数学在宇宙研究中的应用。
代数的进步对数学研究产生了重大的心理影响和热情，尤其是代数研究，从意大利传播到比利时的史蒂文和法国的维埃特。
在17个 世纪，纳皮尔，布里格斯和其他人大大延长数学的力量与他的对数的发现一个calculatory科学。卡瓦列里用他的无穷小方法在微积分方面取得了进展，笛卡尔将代数方法的力量添加到几何中。
费马继续在微积分方面取得进展，费马与帕斯卡一起开始了概率的数学研究。但微积分是最重要的进化话题17个 世纪。
牛顿在他的老师巴罗等许多早期数学家的工作的基础上，将微积分发展成为推动自然研究的工具。他的工作包含大量新发现，显示了数学、物理学和天文学之间的相互作用。牛顿引力的理论，他的光带我们的理论到18个 世纪。
但是，我们还必须提到莱布尼茨，其更严格的措施来演算（虽然还是不尽人意）是现场设置的数学工作18个 世纪，而不是的牛顿。莱布尼茨对伯努利家族各个成员的影响对于看到微积分的力量和应用的多样性增长很重要。
在最重要的数学家18日 世纪是欧拉谁，除了工作在广泛的数学领域，是发明了两个新的分支，变化和微分几何的即演算。欧拉在推动费马如此有效地开始的数论研究方面也很重要。
走向结束18个 世纪，拉格朗日是开始的功能和机制的严格理论。世纪之交的时期见证了拉普拉斯在天体力学方面的伟大工作以及蒙格和卡诺在合成几何学方面的重大进展。
在19个 世纪了迅速的发展。傅立叶关于热的工作具有根本的重要性。在几何学方面，Plücker在解析几何学和Steiner在合成几何学方面做出了基础性的工作。
Lobachevsky和Bolyai开发的非欧几何导致了Riemann对几何的表征。高斯被一些人认为是有史以来最伟大的数学家，他研究了二次互易性和整数同余。他在微分几何方面的工作彻底改变了这个话题。他还对天文学和磁学做出了重大贡献。
在19个 世纪看到的工作伽罗瓦的方程和他的洞察，数学将按照学习基本操作路径。伽罗华“引进组的概念是预示着已经通过持续数学研究的新方向20个 世纪。
柯西在拉格朗日关于函数的工作的基础上，开始进行严格的分析，并开始研究复变量的函数理论。这项工作将通过Weierstrass和Riemann继续进行。
代数几何由Cayley发扬光大，他在矩阵和线性代数方面的工作补充了Hamilton和Grassmann 的工作。在年底19个 世纪，康托尔发明集合论几乎单枪匹马，而他的电话号码添加到的主要工作理念的分析戴德和维尔斯特拉斯对无理数
分析是由数学物理和天文学的要求驱动的。Lie在微分方程方面的工作导致了对拓扑群和微分拓扑的研究。麦克斯韦将彻底改变分析在数学物理中的应用。统计力学是由麦克斯韦、玻尔兹曼和吉布斯开发的。它导致了遍历理论。
积分方程的研究是由静电学和势论的研究推动的。Fredholm的工作导致了Hilbert和泛函分析的发展。
符号和交流
有许多重大的数学发现，但只有那些其他人可以理解的才能导致进步。然而，数学概念的易用性和理解取决于它们的符号。
例如，使用数字的工作显然受到不良符号的阻碍。尝试用罗马数字将两个数字相乘。MLXXXIV 乘以 MMLLLXIX 是多少？加法当然是另一回事，在这种情况下，罗马数字自成一体，进行大部分算术加法的商人不愿意放弃使用罗马数字。
什么是符号问题的其他例子。最著名的可能是莱布尼茨和牛顿使用的微积分符号。莱布尼茨的记法更容易扩展微积分的思想，而牛顿当考虑两个变量的函数时，虽然可以很好地描述速度和加速度的符号，但其潜力要小得多。与追随莱布尼茨的大陆数学家相比，爱国使用牛顿记数法的英国数学家使自己处于劣势。 让我们想一想我们对数学符号和约定的依赖程度。请任何数学家解决
轴 = b一个x=乙 你会得到答案 x = b/aX=乙/甲. 如果你得到答案，我会很惊讶a = b/x一种=b / X，但为什么不呢。我们常常没有意识到，使用一种约定，即靠近字母表末尾的字母表示未知数，而靠近开头的字母表示已知量。
并非总是这样：Harriot使用过一种一种就像他此时的其他人一样不为人知。我们使用的约定（接近字母表末尾的字母代表未知数）是笛卡尔在1637年引入的。其他惯例已经失宠，例如由于Viète使用元音表示未知数和辅音表示已知。
辉煌的发现？
很难理解重大数学发现的辉煌。一方面，它们通常表现为孤立的闪光点，尽管实际上它们是许多数学家（通常是能力较弱的数学家）长期工作的结晶。
例如，关于是牛顿还是莱布尼茨首先发现微积分的争论很容易得到解答。也没有，因为牛顿肯定是从他的老师巴罗那里学过微积分的。当然，我并不是建议Barrow应该因发现微积分而获得荣誉，我只是指出微积分是从希腊数学开始的长期进步中产生的。
现在，我们面临着将重大数学发现归结为谁在“正确的时间”研究某个主题的运气的危险。这也是完全不公平的（虽然它确实解释了为什么两个或更多人经常在同一时间独立发现某些东西）。发现中仍然有天才的闪光，通常来自更深入的理解或更清楚地看到某些想法的重要性。
我们如何看待历史
我们从我们自己的理解和复杂性的立场来看待数学的历史。没有其他办法，但我们必须尝试理解我们的观点与几个世纪前数学家的观点之间的差异。通常，今天教授数学的方式使人们更难理解过去的困难。
没有理由任何人都应该引入负数来作为方程的解，例如x + 3 = 0X+3=0. 事实上，完全没有理由引入负数。没有人拥有 - 2本书。我们可以将2视为每组2 个对象都具有的某种抽象属性。这本身就是一个深刻的想法。将2 个苹果添加到3 个苹果是一回事。意识到有抽象属性2和3适用于具有2和3 个元素的每个集合，并且2 + 3 = 5是一个通用定理，无论它们是苹果、书籍还是树的集合，都从计数进入数学领域.
负数没有这种类型的具体表示来构建抽象。他们的介绍是经过长时间的斗争才出现的，这并不奇怪。了解这些困难将使任何试图教小学生的教师受益。即使是我们作为最基本概念的整数，也有一种复杂性，只有通过检查历史背景才能正确理解。
挑战
如果您认为数学发现很容易，那么这里有一个挑战让您思考。近400年前，纳皮尔、布里格斯和其他人向世界介绍了对数。这些用于350年作为算术计算的主要工具。使用对数节省了惊人的工作量，科学中必要的繁重计算怎么会在没有对数的情况下进行。
然后世界就变了。袖珍计算器出现了。对数仍然是一个重要的数学函数，但它在计算中的使用已经一去不复返了。
这就是挑战。什么将取代计算器？你可能会说这是一个不公平的问题。但是，让我提醒您，纳皮尔在发明日志的同时发明了机械计算机的基本概念。将导致更换袖珍计算器的基本想法几乎肯定在我们身边。
我们可以想到更快的计算器、更小的计算器、更好的计算器，但我要求的东西不同于计算器，就像计算器本身来自日志表一样。我对我自己的问题有一个答案，但是说出它是什么会破坏我的挑战的重点。想想并意识到发明非欧几何、群、广义相对论、集合论等是多么困难......
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