麦克斯韦方程组的深刻理解有哪些？

本文较为硬核，请酌情跳过部分内容。

介绍麦克斯韦方程组的科普作品有很多，其他答主的回答也都还行。笔者也没必要再赘述那些千篇一律的内容。

本文就来谈一谈其他人没说过的事情：

从麦克斯韦方程组走向理论物理的巅峰！

（以下内容建立在其他回答作品的基础上，请确保自己已经对麦克斯韦方程组有了基本的了解。评论区里会附上其它作品的链接。）

返璞归真

现在常见的麦克斯韦方程组是被赫维赛德(O.Heaviside)和吉布斯(J.W.Gibbs)改写后的方程组。

说实话，这种形式的麦克斯韦方程组已经没有“生命力”了。

反倒是麦克斯韦(J.C.Maxwell)最初写下的那些方程有着旺盛的“生命力”，衔接着量子力学以及目前理论物理学的巅峰之作。

回到静态电场和静态磁场的方程

电荷给静态电场提供散度，电流给静态磁场提供旋度。

静态电场的旋度是零，静态磁场的散度是零。

（其它介绍麦克斯韦方程组的作品应该已经把散度和旋度介绍地很清楚了，我就不提了。）

这个方程组看起来还是很和谐的，简洁有力地描述了静态电场和静态磁场的规律。

不过，为了引出本文的“重头戏”，需要把这一组方程改写一下。

电场强度与电势

（默认大家知道“电势”这个概念。）

可以用电场强度E来描述电场，也可以用电势φ来描述电场。

电势是单位正电荷在电场中具有的势能，通常用φ来表示电势。

（注意一下“电势是单位正电荷在电场中具有的势能”这句话，后面再次提到它的时候，你会对它的理解更深刻。）

可以形象地用电场线来表示电场强度，也可以形象地用等势面来表示电势。

电场线越密的地方，电场强度越大；等势面越密的地方，电势差越大。

空间中的每一点的电势都不同，所以电势是关于三个空间坐标x、y、z的函数。由于电势是标量，所以空间中的电势构成了一个标量场。相应的，空间中的电场强度构成了一个矢量场。

不知道大家有没有注意到一件事：

电场线越密的地方，等势面也会越密！

这意味着电场强度和电势之间有着某种关系，这种关系可以写成一个公式：

（下面会解释这个公式。）

也可以用电场强度的三个分量来表示：

左边是电场强度，这没什么可说的。

而右边是电势的负梯度。一个倒三角后面紧跟着电势，就是电势的梯度，前面再加上负号就是电势的负梯度。

什么是梯度？

梯度的大小也就是电势在空间中变化的快慢程度，也就是对空间坐标求导数。

（其它介绍麦克斯韦方程组的作品应该也已经把导数介绍地很清楚了，我就不提了。）

直观地说，等势面越密的地方，电势的梯度越大。

为什么公式中是负梯度，不是梯度？

因为电场强度是有方向的，梯度也是有方向的。

电势的梯度的方向是电势增加得最快的方向，而电场强度的方向是电势减小得最快的方向，所以电场强度是电势的负梯度。

这个公式有什么用吗？

当然有用！

梯度有一个性质：对梯度求旋度，结果一定是零。

可以借助这张图片来理解这个性质：

（这种阶梯不存在，如果有阶梯式的下降，就不能构成循环。）

这自动满足了静电场的旋度为零的性质。

所以，如果用电势来描述静态电场，只需要一个方程：

补充一下：

磁感应强度与磁矢势

有电势，那有没有磁势呢？

很多书上会说：磁场的旋度不是零，没有与电场的电势对应的磁势。

不过，这只是说我们不能用“标量势”去描述磁场，也就是说我们不能把磁感应强度B看成是某个标量场的梯度。

但这不代表我们不能用“矢量势”去描述磁场啊！

矢量势？

这确实是个奇怪的概念，不过真的有这个概念，可以把这个矢量势叫做“磁矢势”，通常用A来表示。

（麦克斯韦构建动态电磁场方程的工作，就是从磁矢势A入手的。）

（左边是磁感应强度，右边是磁矢势的旋度。）

开尔文勋爵(W.Thomson)在1851年提出了这个公式。

（每次提到为麦克斯韦方程组奠基的人，几乎所有人都遗忘了开尔文，遗忘了这位提出磁矢势的巨匠。）

空间中的每一点的磁矢势都不同，所以磁矢势是关于三个空间坐标x、y、z的函数。由于磁矢势是矢量，所以空间中的磁矢势构成了一个矢量场。相应的，空间中的磁感应强度也构成了一个矢量场。

引入磁矢势有什么用？

和梯度一样，旋度也有一个性质：对旋度求散度，结果一定是零。

可以借助这张图片来理解这个性质：

（形成首尾相接的环，就无法发散到其它区域。）

这自动满足了静态磁场的散度为零的性质。

和电势一样，用磁矢势来描述静态磁场，也只需要一个方程：

补充一下，有这样一个数学公式：

可能有人会问：

电势还有个物理意义，是单位正电荷在电场中具有的势能。

磁矢势有什么物理意义吗？

这就尴尬了，在静态磁场中，看不出磁矢势有什么物理意义，可以把磁矢势当成纯粹的数学技巧。

但是，在动态电磁场中，磁矢势会大放光彩！

接下来自然要介绍动态电磁场的方程，不过在此之前，先整理一下静态电场方程和静态磁场方程的新形式：

不过，为了防止下面出现过于复杂的方程，笔者仍用四个方程来表示电磁场的方程：

涡旋电场与电磁动量

上面都是在谈静态电场和静态磁场，接下来进入动态电磁场。

提到动态电磁场，就不得不提法拉第(M.Faraday)的“电紧张态”，这是动态电磁场理论的开端，不过就像“磁矢势”一样，“电紧张态”被遗忘了。

法拉第认为磁场处于“电紧张态”，也就是说磁感线有沿着磁感线的方向收缩、并向垂直于磁感线的方向扩张的趋势。

麦克斯韦把法拉第的“电紧张态”和开尔文的“磁矢势”联系在了一起，为电场和磁场构建了“分子涡旋模型”，就像下图一样：

（“分子涡旋模型”非常复杂，笔者就不介绍了。）

借助“分子涡旋模型”，麦克斯韦得到了这个公式：

（左边是电场强度，右边是磁矢势的负的变化率。）

麦克斯韦当初就是用这个公式表示电磁感应定律，把这种电场称为“涡旋电场”，这个公式也是麦克斯韦对电磁学的第一个贡献。

至于这个涡旋电场究竟是不是电场，要看我们对电场的定义是什么。

麦克斯韦认为只要电荷在某个场中受到的力的方向与场的方向平行，这个场就是“电场”。涡旋电场确实符合这个定义。

（相应的，如果电荷在某个场中受到的力的方向与场的方向垂直，这个场就是“磁场”。）

有很多资料这样表示涡旋电场，把涡旋电场的电场线画成闭合的曲线：

这种表示方法其实不太严谨，后面会解释原因，而现在还不是解释的时候。

顺便提一句，麦克斯韦从来没说过“变化的磁场产生涡旋电场”，因为磁场的变化终究是由电荷的变化引起的，麦克斯韦只承认电荷是唯一的场源。

不能因为人们先发现电荷周围存在磁场，再发现电荷周围存在涡旋电场，就说磁场和涡旋电场之间有着因果关系。

而且，求解麦克斯韦方程组，会发现自由空间中电场的变化和磁场的变化是同步进行的！

想知道磁矢势有什么物理意义吗？

首先回忆一下电场力的公式：

我们可以在电磁感应定律的等号两边乘上电荷量：

力等于某个物理量的变化率（先别管负号），这个公式像哪个公式？

答案是：

牛顿第二定律！

（力等于动量的变化率）

所以，麦克斯韦也将磁矢势称为“电磁动量”，表示单位正电荷在电磁场中具有的潜在的动量！

电磁感应定律等号右边的负号表示潜在的动量减小时，带电粒子的动量增加。

电势与磁矢势是一对概念。

电势表示单位正电荷在电磁场中具有的势能（潜在的能量）。

磁矢势表示单位正电荷在电磁场中具有的潜在的动量。

前面说过，静态电场有这个方程：

可以把静态电场和涡旋电场的方程合并起来：

这样就向动态电磁场的方程迈进了一步，得到了这样的方程组：

位移电流与传导电流

很多人都对位移电流有误解，因为很多人都没看过《电磁通论》。

麦克斯韦从来没说过“位移电流是变化的电场”，他将位移电流和传导电流都称为“真实的电流”。

也就是：电荷的运动！

传导电流就是我们平时说的导体中的电流，位移电流则是电介质中的电流。

电介质是可以让电场通过的介质。可以简单地认为某种介质如果不是导体，就是电介质。

电介质内部没有自由电子或自由离子，不能导电，但这不代表电介质内部没有电荷。

麦克斯韦首先考虑的是电介质的极化。

这会让电介质内部的电荷发生微小的位移，可以用电位移矢量D来描述这种微小的位移。

电位移矢量D和电场强度E有这样的关系：

这个公式其实是在借鉴胡克定律：

麦克斯韦也将电位移矢量D和电场强度E的关系称为“电弹性方程”。

如果电介质中的电荷的位移随时间变化，也就是说电介质被反复极化，那么：

所以麦克斯韦把电位移矢量D随时间的变化率（导数）称为位移电流。

（还是那句话，麦克斯韦只承认电荷是唯一的场源。）

静态磁场的方程中提到过，传导电流具有磁效应：

位移电流也应该有磁效应：

可以把这两个方程合写在一起：

可以把电位移矢量D用电场强度E表示，写成：

然后就有人开始玩“双标”了，说这是“变化的电场产生磁场”。

我们要知道，传导电流J和电场强度E也有关系：

这个公式其实是在借鉴固体在流体中的运动速度与阻力的关系：

所以我们也可以把电流的磁效应表示成：

来看一个典型的“双标”操作，不知道大家对此有何看法：

另外，也可以认为引入位移电流是电荷守恒定律的必然要求。其它介绍麦克斯韦方程组的科普作品基本上也都介绍过，具体内容笔者在此略过。

但是，电荷守恒也和所谓的“变化的电场产生磁场”不沾边，笔者实在是不知道所谓的“电场生磁场，磁场生电场”是从哪里传出来的。

麦克斯韦方程组

整理一下，写出完整的麦克斯韦方程组：

也可以把前两个方程带入后两个方程，得到：

大家应该可以发现，说了这么多，就是引出了两个公式：

这两个公式可谓是深不可测，衔接着规范场论！

规范变换与测量

物理学的精髓是测量与描述，规范场论更是测量的“产物”。

这要从磁矢势A谈起。

电场强度E和磁感应强度B都有确定的散度和旋度，但是磁矢势A只有确定的旋度，那它的散度如何确定？

答案可能有点“毁三观”：

你想让它的散度是什么，它的散度就是什么。

磁矢势A到底有什么特殊之处？

答案是：

磁矢势A是一个不可测量的量！

而且，电势φ也是一个不可测量的量！

（电场强度E和磁感应强度B是可测量的量。）

以电势为例，我们可以随意选取“零电势点”（也就是“规范”），所以电势是不可测量的，电势差（电压）才是可测量的。

磁矢势也是同样的道理。

“重头戏”来了！

观察一下用磁矢势A表示磁感应强度B的公式：

我们可以玩一些数学技巧，给原本的磁矢势A加上一个标量场的梯度，形成一个新的磁矢势：

那么磁感应强度B会变成：

（前面说过，梯度的旋度一定是零。）

磁感应强度B没有变化！

对不可测量的量做一个变换后，可测量的量不变，所以我们可以做这样的变换。

但是，别忘了磁矢势A也出现在了涡旋电场的公式中：

磁矢势的散度也可以随意选取，那岂不是说涡旋电场的散度也可以随意选取？

没错，涡旋电场的散度确实可以随意选取。

涡旋电场的电场强度是不可测量的量！

我知道有人会问：

上面不是说过，电场强度E和磁感应强度B是可测量的量吗？

注意，涡旋电场和静电场合成后的电场强度确实是可测量的量，但是我们无法测量单独的涡旋电场！

测量带电粒子在动态电磁场中受到的力，能测到的只有一个力，就是各种力的合力。而不是先测静电场的力、再测涡旋电场的力、再测磁场的力。

说到底，这还是测量的问题，不懂测量的意义，是学不好物理的。

所以说，总的电场的电场强度是不能随意选取的。

但是，如果我们对磁矢势A做了上面的变换，确实会改变总的电场强度E：

这似乎说明我们不能对磁矢势A做变换。

但是，电势φ也是一个不可测量的量，如果我们对电势φ也做一个相应的变换：

就能保证电场强度E不变：

（因为可以对电势φ做变换，所以电磁场方程里的φ未必是静电场的电势，还可能是静电场与涡旋电场的电势之和。）

所以我们可以对电势φ和磁矢势A这些不可测量的量做一套变换：

这一套变换不会改变电场强度E和磁感应强度B这些可测量的量。

对不可测量的量做的这一套变换就是：

规范变换！

规范变换不会改变可测量的物理量，我们也可以说：

可测量的物理量具有规范变换不变性（规范不变性）！

换言之，具有规范变换不变性的物理量才是可测量的物理量。

规范场是与物理规律的规范变换不变性相联系的场。

电磁场是最简单的规范场，麦克斯韦方程组描述了这种规范场。

回到这个老问题：

我们可以选择一些规范，来得到磁矢势的散度。

比如库仑规范（外尔规范）：

此时，涡旋电场的散度就是零，可以把涡旋电场的电场线画成闭合的曲线：

再比如洛伦兹规范：

此时，涡旋电场的散度不是零，不能把涡旋电场的电场线画成闭合的曲线：

顺便展示一下分别使用库仑规范和洛伦兹规范的麦克斯韦方程组：

值得一提的是，使用洛伦兹规范的麦克斯韦方程组在形式上是完全对称的！

从矢量到张量

为了更好地衔接相对论，可以用张量表示麦克斯韦方程组。

（上面提到的麦克斯韦方程组是用矢量表示的。）

下面来看一看用张量表示的麦克斯韦方程组。

张量过于复杂，大家看一看张量方程的样子，能从“不知道自己不知道”变成“知道自己不知道”就行了。

麦克斯韦方程组的物理意义是不变的。

电磁感应定律和高斯磁定律可以合写成一个公式：

高斯定律和全电流定律也可以合写成一个公式：

所以，麦克斯韦方程组的张量形式是：

注意：

杨-米尔斯方程

上面说过，电磁场是最简单的规范场，麦克斯韦方程组描述了这种规范场。

如果要描述更加复杂的规范场，就要用到杨-米尔斯方程。

还是那句话，大家能从“不知道自己不知道”变成“知道自己不知道”就行了。

可以用张量表示出电磁场的拉格朗日量，把麦克斯韦方程组写成：

拉格朗日量就是一个系统的动能与势能之差。

L=T-U

T：动能、U：势能

（提拉格朗日量是为了让大家在最后的图片上认出麦克斯韦方程组。）

咱们再来看一看杨-米尔斯方程长什么样：

是不是和麦克斯韦方程组有些像？

像就对了！

杨-米尔斯方程就是基于麦克斯韦方程组提出的，是对麦克斯韦方程组的推广，可以描述更加复杂的规范场。

比如传递弱核力的场、传递强核力的场。

由此可以引出粒子物理标准模型！

粒子物理标准模型已经算是目前的理论物理的巅峰了，它的框架起源于麦克斯韦方程组。

或者说，麦克斯韦方程组是粒子物理标准模型的“第一块拼图”。

最后，在粒子物理标准模型里面标记一下麦克斯韦方程组

粒子物理标准模型的拉格朗日量：