中考数学压轴题分析：半角模型与正切和角公式

本文内容选自2021年娄底中考数学几何压轴题。题目以等腰直角三角形半角模型为背景，考查勾股定理与三角函数有关的知识，题目适度创新，值得学习。

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【中考真题】

（2021·娄底）如图①，、是等腰的斜边上的两动点，，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图②，作，垂足为，设，，不妨设，请利用（2）的结论证明：当时，成立．

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【分析】

（1）通过条件得到边角关系，根据SAS即可证明结论。

（2）利用全等与勾股定理即可转化。本题实际上已告知辅助线的作法，因此难度不大。

（3）证明正切的和角公式成立，有一定难度。但是给的是特殊角45°的情况，因此相当于只需证明tan α+tan β=1-tan α·tan β即可。

再由AB=√2，得到AH=BH=CH=1，然后得到tan α=EH，tan β=FH。

进而转化为证明EH+FH=1-EH·FH成立。

题目提示需要用到（2）中的结论，那么可以考虑对（2）中的结论进行转化与变形。

（EH+FH）²=（1-EH）²+（1-FH）²，

通过化简可以得到EH+FH=1-EH·FH，结论可得。

【答案】证明：（1）是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；

（2）由（1）知，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
；

（3）在中，，
，
，
，
，，
由（2）知，，
，
，
，
在中，，
在中，，
右边，
，
左边，
左边右边，
即当时，成立．