对称性和守恒定律

按照对称的定义来讲，对称就是指物体相对而又相称，或者说它们相仿，相等。所谓对称性是指：某种变化下的不变性。自然界中的事物的对称性表现在两方面。第一：物体的形状或几何形体的对称性。例如：五角星的旋转对称，正方体的中心对称性。这是根据对称性的定义，我们使五角星和正方体都绕它们的中心旋转180°，在这样的变换下，变换后图形具有不变性。第二：事物进程或物理规律的对称性。所谓物理规律的对称性是指：物理规律在某种变换下的不变性。例如：一个物体做平抛运动，水平初速度为V，抛出时离水平地面的高度为H，空气阻力忽略不计。在其他外部条件都相同的情况下，在不同的地方使该物体做如上所述的运动，该物体的运动状况是否相同呢？我们知道，平抛运动可以看成两种运动的合成：水平方向上是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动。在其他条件相同的情况下，水平方向上都是以速度V作匀速直线运动。在竖直方向上，下落的时间可以由公式T=（g为重力加速度）求出，我们知道重力加速度在不同的地方是不相同的，也就是说上述例子中的物体在不同地方的下落时间是不相同的。这就说明了自由落体运动在不同的地方并不具有不变性，但是，我们不可否认的是下落时间和高度以及加速度它们之间的相互关系是并不会因为地点的不同而不相同，所以它的物理规律始终是保持不变的。

对物质运动基本规律的探索中，对称性和守恒定律的研究占有重要的地位。从历史发展过程来看，无论是经典物理学还是近代物理学，一些重要的守恒定律常常早于普遍的运动规律而被认识。质量守恒、能量守恒、动量守恒、电荷守恒就是人们最早认识的一批守恒定律。它们的出现也不是偶然的，而是因为物理规律具有多种对称性的必然结果。这些守恒定律的确立为后来认识普遍运动规律提供了线索和启示。

物理学中关于对称性探索的一个重要进展是建立诺特定理，定理指出，如果运动定律在某一变换下具有不变性，必相应地存在一条守恒定律。简单的说就是：物理定律的一种对称性，对应地存在一条守恒定律。物理学中常见的物理定律的对称性主要有：(1)物理定律的空间平移对称性。(2)物理定律的转动对称性。(3)物理定律的时间平移对称性。这种对称性是指物理定律在洛伦兹变换下保持形式不变。例如：运动定律的空间平移对称性导致动量守恒定律，时间平移对称性导致能量守恒定律，空间各向同性（空间旋转对称性）导致角动量守恒定律。

1、空间平移对称性和动量守恒

考虑一对粒子A和B，它们的相互作用势能为U。现将A沿任意方向移动到A' (见图1(a))，这位移造成势能的改变 (抵抗B给A的力所作的功)；若A不动，将B沿反方向移动相等的距离到B'(见图1(b))，则势能的改变量为 (抵抗A给B的力所作的功)。

图1  空间平移不变性与动量守恒

上述两种情况终态的区别仅在于由两粒子组成的系统整体在空间有个平移，它们的相对位置是是一样的。空间平移不变性意味着两粒子之间的相互作用势能只与它们的相对位置有关，与他们整体在空间的平移无关，从而两种情况终态的势能应该是相等的。即：

因此

……①

由牛顿第二定律，有：

……②

由①、②两式可得

即二粒子体系的总动量不随时间改变。这就是“动量守恒”。这样，我们从空间的平移不变性推出了动量守恒定律。

2、时间平移对称性和机械能守恒

在保守系统中，物体之间的相互作用可通过相互作用势来表达，在一维的情况下，物体所受的力与势函数之间存在如下关系：

时间平移对称性，或者说时间均匀性意味着这种相互作用势只与两粒子的相对位置有关。即：对于同样的相对位置，粒子间的相互作用势不会随着时间而改变。在一维情况下有：

保守系统中的物体，在势场中从位置移动到位置时所做的功为：

 

根据动能定理，力F 对物体所做的功等于物体始末状态与初态动能之差。即有：

联立以上两式便得：

即系统机械能守恒。这就从时间均匀性推导出机械能守恒。

3、对于每一种对称性都存在着一个守恒定律，下表即为物理学中常见的对称性及与其相对应的守恒定律。

对称性(不变性)	守恒律
空间平移	动量守恒
时间平移	能量守恒
转动	角动量守恒
时间反演	——
电荷规范变换	电荷守恒
重子规范变换	重子数守恒
轻子规范变换	轻子数守恒
电荷共轭	电荷宇称守恒

物理学中的形体对称

物理学还讲究形体的对称，形体上的对称不仅仅表现出了外在的对称美，它对于我们解决一些复杂的问题也有帮助。例如：一张无限大平面方格子的导体网络，方格子每一条边的电阻是R，在这张方格子网络的中间相邻点连出两条导线，问这两条导线之间的等效电阻是多少？

这个问题看起来很复杂，因为它涉及到无穷多个回路和无穷多个节点，如果我们用直流电路中普遍的基尔霍夫方程组来求解，那么我们将得到无穷多个方程，难以求解。但是如果我们运用对称性原理，问题就会显得简单得多了。因为这个方格子网络具有形体上的对称性。我们假设有一根导线连接到一个格点，通以电流I，电流从网络的边缘流出，由于从该格点向四边流过的电流具有对称性，因此流过与该可知点连接的每一边的电流必定是再设想电流I从网络的边缘流入，再从网络中心的一个格点上连接的一条导线从上流出，根据同样的对称性分析，流过与该格点连接的每一边的电流也必定是。我们要求解的情形正是这两种情形的叠加，电流I从连接到一个格点的导线流入，从连到相邻格点的导线流出，而在网络边缘，两种情形流出和流入的电流相互抵消。结果在连接导线的两相邻格点之间的那条边上通过的电流是上述两种情形的叠加，即为，这条边的电阻是R，这意味剩下的电流通过其它边，它相应的电阻应是R，换句话说，从相邻格点来看，这一无穷方格子网络的等效电阻是两个阻值为R 的并联，其等效电阻为R/2。由此可以看出，对称性分析在物理学中非常有用，一旦明确了具有对称性，问题常常变得简单可解。

在物理学中，还利用形体上的对称性来研究晶体的分类等物理问题，并取得丰硕的成果。

电与磁的对称性

据研究发现，古希腊人发现了琥珀、毛皮等物质摩擦可以生电，中国人很早就知道天然磁石会吸铁，带电物体会吸引很小的物体。摩擦生电与磁性现象。在停滞千余年之后，在十八世纪的西欧，成为电磁学发展的出发点。

我们知道，自然界中存在两种电荷：正电荷和负电荷。他们之间存在着相互作用，同性相吸，异性相斥。在自然界中，带电体的电量都是最小单位元电荷的整数倍。两个电荷之间相互作用力是库伦力，但是库伦力却要依赖于电荷在空间中激发的电场才能起作用。

而电与磁之间很早就被认为是有关联的，我们知道，磁现象是由电现象引起的或运动电荷是产生磁现象的本质原因。电荷的运动是一切磁现象的根源。

电与磁的关系

电场和磁场都是物质存在的一种特殊形式。电荷在其周围产生电场，这个电场又以力的形式作用于其他电荷。磁体和电流在其周围产生磁场，而这个磁场又以力的形式作用于其他磁体和内部有电流的物体。电场和磁场也都是具有能量和动量的，它们是传递电力和磁力的媒介，它们弥漫着整个空间。

电场和磁场的这种相似和我们前面讲到的电与磁的对称性似乎也就不谋而合了。除此以外，我们还可以从它们各自的性质中看到电场和磁场的对称性以及它们自身存在的对称美。

（一）电场

1、电场线的特点：

①始于正电荷，止于负电荷（或来自无穷远，去向无穷远）。

②电场线不相交。

③静电场电场线不闭合。

2、几种不同情况下画出的电场线

①平面电三极子电场线

②平面电四极子电场线

3、几种等势曲线

① 

②

（二）磁场

1、磁力线的特点：

① 磁力线总是从N极出发，进入与其最邻近的S极，并形成闭合回路。

② 任意两条同向磁力线之间相互排斥，因此不存在相交的磁力线。

③ 同电流类似，磁力线总是走磁阻最小（磁导率最大）的路径，因此磁力线通常呈直线或曲线，不存在呈直角转弯的磁力线。

④ 当铁磁材料未饱和时，磁力线总是垂直于铁磁材料的极性面。当铁磁材料饱和时，磁力线在该铁磁材料中的行为与在非铁磁性介质（如：空气、铝、铜等）中一样。

2、常见的磁力线

①条形磁铁的磁力线

②地磁场的磁力线

 

（三）经典物理学中关于电和磁的计算公式

1、描述电场强度的量是：电场强度矢量—

电荷元产生电场强度的公式：

描述磁场强度的量是：磁感应强度矢量—

电流元产生磁感应强度的公式：

2、在电介质中描述电场的辅助量是电位移矢量—

与的关系是：

式中为电极化强度矢量。

在磁介质中描述磁场的辅助量是磁场强度矢量—

与的关系是：

式中为磁化强度矢量。

3、静电场和静磁场的相关方程：

静电场：

静磁场：

4、法拉第定律：

5、麦氏方程组：

由麦氏方程组我们可以知道：电场是有源无旋的，这正好与磁场的有旋无源相对应。

除了以上介绍的以外，我们还可以从很多方面感受到电与磁的这种对称性。它们所体现出来的“对称”与美是物理规律所决定的，是一种自然法则。